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        1. 【題目】如圖,△ABC是邊長為6的等邊三角形,P是AC邊上一動點(diǎn),由A向C運(yùn)動(與A、C不重合),Q是CB延長線上一點(diǎn),與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(Q不與B重合),過P作PE⊥AB于E,連接PQ交AB于D.

          (1)當(dāng)∠BQD=30°時(shí),求AP的長;
          (2)當(dāng)運(yùn)動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段ED的長;如果變化請說明理由.

          【答案】
          (1)解:∵△ABC是邊長為6的等邊三角形,

          ∴∠ACB=60°,

          ∵∠BQD=30°,

          ∴∠QPC=90°,

          設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,

          ∴QC=QB+BC=6+x,

          ∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,

          ∴PC= QC,即6﹣x= (6+x),解得x=2,

          ∴AP=2


          (2)解:當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動且速度相同時(shí),線段DE的長度不會改變.理由如下:

          作QF⊥AB,交直線AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,

          又∵PE⊥AB于E,

          ∴∠DFQ=∠AEP=90°,

          ∵點(diǎn)P、Q速度相同,

          ∴AP=BQ,

          ∵△ABC是等邊三角形,

          ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,

          在△APE和△BQF中,

          ∵∠AEP=∠BFQ=90°,

          ∴∠APE=∠BQF,

          ,

          ∴△APE≌△BQF(AAS),

          ∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,

          ∴四邊形PEQF是平行四邊形,

          ∴DE= EF,

          ∵EB+AE=BE+BF=AB,

          ∴DE= AB,

          又∵等邊△ABC的邊長為6,

          ∴DE=3,

          ∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動且速度相同時(shí),線段DE的長度不會改變.


          【解析】(1)由△ABC是邊長為6的等邊三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°,設(shè)AP=x,則PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC= QC,即6﹣x= (6+x),求出x的值即可;(2)作QF⊥AB,交直線AB于點(diǎn)F,連接QE,PF,由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動且速度相同,可知AP=BQ,再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四邊形PEQF是平行四邊形,進(jìn)而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE= AB,由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3,故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動時(shí),線段DE的長度不會改變.

          練習(xí)冊系列答案
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