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        1. 【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,且點B與點C的坐標分別為B(3,0).C(0,3),點M是拋物線的頂點.

          (1)求二次函數(shù)的關(guān)系式;

          (2)點P為線段MB上一個動點,過點P作PDx軸于點D.若OD=m,PCD的面積為S,試判斷S有最大值或最小值?并說明理由;

          (3)在MB上是否存在點P,使PCD為直角三角形?如果存在,請求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

          【答案】(1)解析式為y=﹣x2+2x+3;(2)當m=時,S有最大值,最大值為; (3)存在,P點坐標為(,3)或(﹣3+3,12﹣6)時,PCD為直角三角形.

          【解析】試題分析:(1)把B點和C點坐標代入y=﹣x2+bx+c得到關(guān)于b、c的方程組,然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式;

          2)把(1)中的一般式配成頂點式可得到M1,4),設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n,再利用待定系數(shù)法求出直線BM的解析式,則Pm,﹣2m+6)(1≤m3),于是根據(jù)三角形面積公式得到S=﹣m2+3m,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題;

          3)討論:∠PDC不可能為90°;當∠DPC=90°時,易得﹣2m+6=3,解方程求出m即可得到此時P點坐標;當∠PCD=90°時,利用勾股定理得到和兩點間的距離公式得到m2+﹣2m+32+32+m2=﹣2m+62

          然后解方程求出滿足條件的m的值即可得到此時P點坐標.

          試題解析:(1)把B3,0),C03)代入y=﹣x2+bx+c,解得,

          所以拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;

          2S有最大值.理由如下:

          ∵y=﹣x2+2x+3=﹣x﹣12+4,

          ∴M1,4),

          設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n,

          B30),M14)代入得,解得,

          直線BM的解析式為y=﹣2x+6

          ∵OD=m,

          ∴Pm,﹣2m+6)(1≤m3),

          ∴S=m﹣2m+6=﹣m2+3m=﹣m﹣2+

          ∵1≤m3,

          m=時,S有最大值,最大值為;

          3)存在.

          ∠PDC不可能為90°;

          ∠DPC=90°時,則PD=OC=3,即﹣2m+6=3,解得m=,此時P點坐標為(,3),

          ∠PCD=90°時,則PC2+CD2=PD2,即m2+﹣2m+32+32+m2=﹣2m+62

          整理得m2+6m﹣9=0,解得m1=﹣3﹣3(舍去),m2=﹣3+3

          m=﹣3+3時,y=﹣2m+6=6﹣6+6=12﹣6,此時P點坐標為(﹣3+3,12﹣6),

          綜上所述,當P點坐標為(,3)或(﹣3+312﹣6)時,△PCD為直角三角形.

          練習(xí)冊系列答案
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          分數(shù)

          7

          8

          9

          10

          人數(shù)

          11

          0

             

          8

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