Question

【題目】在四邊形ABCD中，，，AC與BD交于點(diǎn)F．

(1) 如圖1，求證：判斷的形狀并證明你的結(jié)論

(2) 如圖2，若，且，猜想：和的數(shù)量關(guān)系并證明

(3) 如圖3，若，點(diǎn)E在AD上，，，，則BD＝_____

Answer 1

【答案】（1）是等腰三角形，證明見解析；（2），證明見解析；（3）8．

【解析】

（1）如圖（見解析），延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使，連接DG，先根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，最后根據(jù)等量代換可得，由此即可得；

（2）如圖（見解析），設(shè)，則，先根據(jù)等腰三角形的三線合一得出，，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出，從而得出，然后根據(jù)角平分線的判定得出，最后根據(jù)等量代換即可得；

（3）如圖（見解析），設(shè)，先利用平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可推出，，再設(shè)，從而可得，然后根據(jù)，在中利用直角三角形的性質(zhì)可得DG、KG的長(zhǎng)，從而在中，利用勾股定理可求出BG的長(zhǎng)，由此即可得出答案．

（1）是等腰三角形，證明如下：

如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使，連接DG

四邊形ADGC是平行四邊形

是等腰三角形；

（2），證明如下：

如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作于點(diǎn)E

設(shè)，則

由（1）知，是等腰三角形

，（等腰三角形的三線合一）

是等腰直角三角形

（角平分線的判定）

即；

（3）如圖，延長(zhǎng)CE、BA交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)K，使，連接DK，過點(diǎn)K作于點(diǎn)G

設(shè)

，

，即，

四邊形EDKC是平行四邊形

，

設(shè)，則，

故答案為：8．