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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2012•福州) 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D,AD交⊙O于點E.
          (1)求證:AC平分∠DAB;
          (2)若∠B=60°,CD=2
          3
          ,求AE的長.
          分析:(1)連接OC,由CD為圓O的切線,根據切線的性質得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可得出OC平行于AD,根據兩直線平行內錯角相等可得出∠1=∠2,再由OA=OC,利用等邊對等角得到∠2=∠3,等量代換可得出∠1=∠3,即AC為角平分線;
          (2)法1:由AB為圓O的直徑,根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度數求出∠3的度數為30°,可得出∠1的度數為30°,在直角三角形ACD中,根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,由CD的長求出AC的長,在直角三角形ABC中,根據cos30°及AC的長,利用銳角三角函數定義求出AB的長,進而得出半徑OE的長,由∠EAO為60°,及OE=OA,得到三角形AEO為等邊三角形,可得出AE=OA=OE,即可確定出AE的長;
          法2:連接EC,由AB為圓O的直徑,根據直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度數求出∠3的度數為30°,可得出∠1的度數為30°,在直角三角形ADC中,由CD及tan30°,利用銳角三角函數定義求出AD的長,由∠DEC為圓內接四邊形ABCE的外角,利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角,得到∠DEC=∠B,由∠B的度數求出∠DEC的度數為60°,在直角三角形DEC中,由tan60°及DC的長,求出DE的長,最后由AD-ED即可求出AE的長.
          解答:解:(1)如圖1,連接OC,
          ∵CD為⊙O的切線,
          ∴OC⊥CD,
          ∴∠OCD=90°,
          ∵AD⊥CD,
          ∴∠ADC=90°,
          ∴∠OCD+∠ADC=180°,
          ∴AD∥OC,
          ∴∠1=∠2,
          ∵OA=OC,
          ∴∠2=∠3,
          ∴∠1=∠3,
          則AC平分∠DAB;

          (2)法1:如圖2,
          ∵AB是⊙O的直徑,
          ∴∠ACB=90°,
          又∵∠B=60°,
          ∴∠1=∠3=30°,
          在Rt△ACD中,CD=2
          3
          ,∠1=30°,
          ∴AC=2CD=4
          3
          ,
          在Rt△ABC中,AC=4
          3
          ,∠CAB=30°,
          ∴AB=
          AC
          cos∠CAB
          =
          4
          3
          cos30°
          =8,
          連接OE,
          ∵∠EAO=2∠3=60°,OA=OE,
          ∴△AOE是等邊三角形,
          ∴AE=OA=
          1
          2
          AB=4;

          法2:如圖3,連接CE,
          ∵AB為⊙O的直徑,
          ∴∠ACB=90°,
          又∠B=60°,
          ∴∠1=∠3=30°,
          在Rt△ACD中,CD=2
          3
          ,
          ∴AD=
          CD
          tan∠DAC
          =
          2
          3
          tan30°
          =6,
          ∵四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形,
          ∴∠B+∠AEC=180°,
          又∵∠DEC=∠B=60°,
          在Rt△CDE中,CD=2
          3

          ∴DE=
          DC
          tan∠DEC
          =
          2
          3
          tan60°
          =2,
          ∴AE=AD-DE=4.
          點評:此題考查了切線的性質,平行線的性質,等邊三角形的判定與性質,銳角三角函數定義,圓內接四邊形的性質,以及圓周角定理,利用了轉化及數形結合的思想,遇到直線與圓相切,常常連接圓心與切點,利用切線的性質得到垂直,利用直角三角形的性質來解決問題.
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          8-2t
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          3
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          3
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