Question

（2012•臺(tái)江區(qū)模擬）（1）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是CB、CD上的點(diǎn)，若AE⊥BC，AF⊥CD．求證：AE=AF．
（2）某校數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量教學(xué)樓的高度．如圖，他們?cè)贑處測(cè)得教學(xué)樓的最高點(diǎn)A的仰角為30°，再往教學(xué)樓的方向前進(jìn)50m至D處，測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為60°．求教學(xué)樓高度AB的值（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可得BD=CD，又由AE⊥BC，AF⊥CD，利用菱形的面積S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，即可證得AE=AF．
（2）首先設(shè)AB=xm，根據(jù)題意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，然后分別在Rt△ABD與Rt△ABC中，利用正切函數(shù)，即可表示出BD與BC的值，繼而可得方程：

3

x-

3

3

x=50，解此方程即可求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD=CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S_菱形ABCD=BD•AE=CD•AF，
∴AE=AF．

（2）解：設(shè)AB=xm，
根據(jù)題意：∠ADB=60°，∠ACD=30°，CD=50m，
在Rt△ABD中，BD=

AB

tan60°

=

3

3

x（m），
在Rt△ABC中，BC=

AB

tan30°

=

3

x（m），
∵CD=BC-BD，
∴

3

x-

3

3

x=50，
解得：x=25

3

，
∴教學(xué)樓高度AB的值為：25

3

m．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)與方向角問題．此題難度適中，注意能借助于解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．