Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．

（1）求證：AD⊥CD；（2）若AD=2，AC=，求AB的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、2.5

【解析】

試題分析：(1)、連接OC，根據(jù)OA=OC得出∠OAC=∠OCA，根據(jù)AC平分∠DAB得到∠OAC=∠DAC，從而說明∠OCA=∠DAC，得到AD∥OC，從而說明切線；(2)、連接CB，根據(jù)AB為直徑得到∠ACB=90°，根據(jù)已知條件得到∠ADC=90°，結合∠DAC=∠CAB得到△DAC∽△CAB，從而得出AB的長度.

試題解析：(1)、連接OC

∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB ∴∠OAC=∠DAC ∴∠OCA=∠DAC ∴AD∥OC

∵直線CD與⊙O相切 ∴OC⊥CD ∴AD⊥CD

(2)、連接CB

∵AB是⊙O直徑 ∴∠ACB=90°

由（1）知AD⊥CD ∴∠ADC=90°∴∠ADC=∠ACB ∵∠DAC=∠CAB ∴△DAC∽△CAB

∴ 即 ∴AB=2.5