Question

【題目】如圖，點O是等腰△ABC的外心，AD是圓O的切線，切點為A，過點C作CD≡∥AB，交AD于點D．連接AO并延長交BC于點M，連接AD，交過點C的直線于點P，且∠BCP=∠ACD．

（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若AB=12，BC=8．求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）直線PC與圓O相切（2）PC=

【解析】

（1）過C點作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E＋∠BCE＝90°，由AB∥DC得∠ACD＝∠BAC，而∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD，所以∠E＝∠BCP，于是∠BCP＋∠BCE＝90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM＝CM＝BC＝4，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC＝AB＝12，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計算出AM；

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC＝r，OM＝AMr在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計算出r，求出CE＝2r，OM，利用中位線性質(zhì)得BE＝2OM，然后判斷Rt△PCM∽Rt△CEB，根據(jù)相似比可計算出PC．

（1）直線PC與圓O相切，理由為：

過C點作直徑CE，連接EB，如圖，

∵CE為直徑，

∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，

∵AB∥DC，

∴∠ACD=∠BAC，

∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．

∴∠E=∠BCP，

∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，

∴CE⊥PC，

∴PC與圓O相切；

（2）∵AD是⊙O的切線，切點為A，

∴OA⊥AD，

∵BC∥AD，

∴AM⊥BC，

∴BM=CM=BC=4，

∴AC=AB=12，

在Rt△AMC中，AM==8，

設(shè)圓O的半徑為r，則OC=r，OM=AM﹣r=8﹣r，

在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，即42+（8﹣r）2=r2，

解得：r=，

∴CE=2r==9，OM=8﹣=，

∴BE=2OM=7，

∵∠E=∠MCP，

∴Rt△PCM∽Rt△CEB，

∴=，

即=

∴PC=．