Question

如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn)，若這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，則該正六邊形被這些點(diǎn)分成互不重合的三角形共    個(gè)．

Answer 1

【答案】分析：先求出點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步求出互不重合的三角形的個(gè)數(shù)．
解答：解：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個(gè)點(diǎn)，這2008個(gè)點(diǎn)連同正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，
∴共有2008+6=2014個(gè)點(diǎn)．
∵在正六邊形內(nèi)放入1個(gè)點(diǎn)時(shí)，該正六邊形被這個(gè)點(diǎn)分成互不重合的三角形共6個(gè)；即當(dāng)n=1時(shí)，有6個(gè)；然后出現(xiàn)第2個(gè)點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)必然存在于開始的6個(gè)中的某一個(gè)三角形內(nèi)，然后此點(diǎn)將那個(gè)三角形又分成3個(gè)三角形，三角形數(shù)量便增加2個(gè)；又出現(xiàn)第3個(gè)點(diǎn)時(shí)，同理，必然出現(xiàn)在某個(gè)已存在的三角形內(nèi)，然后又將此三角形1分為3，增加2個(gè)…，
∴內(nèi)部的點(diǎn)每增加1個(gè)，三角形個(gè)數(shù)便增加2個(gè)．
于是我們得到一個(gè)等差數(shù)列：存在n個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形數(shù)目a_n=a₁+（n-1）d=6+2（n-1）=2n+4（n≥1）．
由題干知，2008個(gè)點(diǎn)的總數(shù)為a₂₀₀₈=2×2008+4=4020（個(gè)）．
點(diǎn)評：本題是等差數(shù)列的應(yīng)用，找到點(diǎn)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．