Question

如圖所示的拋物線是y=-

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2

x2的圖象經平移而得到的，此時拋物線過點A（1，0）和x軸上點A右側的點B，頂點為P．
（1）當∠APB=90°時，求點P的坐標及拋物線的解析式；
（2）求上述拋物線所對應的二次函數在0＜x≤7時的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可設平移后的拋物線的解析式為y=-

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（x-h）²+t，那么拋物線的頂點P為（h，t）．由于△AMP是等腰直角三角形，如果過P作x軸的垂線不難得出t=h-1，那么拋物線的解析式可寫成：y=-

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2

（x-h）²+h-1，將A點坐標代入拋物線的解析式中即可得出h和t的值，進而可求出P點坐標和拋物線的解析式．
（2）可根據（1）的二次函數解析式和自變量的取值范圍求出函數的最大和最小值．

解答：解：（1）過P作PC⊥AB于C，設平移后拋物線的解析式為y=-

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（x-h）²+t，
則P點坐標為（h，t）．
在直角三角形PAC中，∠PAB=45°，
因此PC=AC，即t=h-1．
由于拋物線過A點，則有：

t=h-1 0=- 1 2 (1-h)2+h-1

解得：

h=3 t=2

，

h=1 t=0

（不合題意舍去）
因此拋物線的解析式為y=-

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（x-3）²+2．

（2）根據（1）的二次函數關系式可知：
當x=3時，y_max=2
當x=7時，y_min=-6．

點評：本題主要考查了二次函數的平移以及函數解析式的確定及性質等知識點．弄清二次函數圖象平移前后解析式的區(qū)別是解題的關鍵．