Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線y=x2平移，使平移后的拋物線經(jīng)過點A（–3，0）、B（1，0）．

(1)求平移后的拋物線的表達式．

(2)設(shè)平移后的拋物線交y軸于點C，在平移后的拋物線的對稱軸上有一動點P，當(dāng)BP與CP之和最小時，P點坐標(biāo)是多少？

(3)若y=x2與平移后的拋物線對稱軸交于D點，那么，在平移后的拋物線的對稱軸上，是否存在一點M，使得以M、O、D為頂點的三角形△BOD相似？若存在，求點M坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）點P坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；（3）點M坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，2）．

【解析】

（1）設(shè)平移后拋物線的表達式為y=a（x+3）（x-1）．由題意可知平后拋物線的二次項系數(shù)與原拋物線的二次項系數(shù)相同，從而可求得a的值，于是可求得平移后拋物線的表達式；

（2）先根據(jù)平移后拋物線解析式求得其對稱軸，從而得出點C關(guān)于對稱軸的對稱點C′坐標(biāo)，連接BC′，與對稱軸交點即為所求點P，再求得直線BC′解析式，聯(lián)立方程組求解可得；

（3）先求得點D的坐標(biāo)，由點O、B、E、D的坐標(biāo)可求得OB、OE、DE、BD的長，從而可得到△EDO為等腰三角直角三角形，從而可得到∠MDO=∠BOD=135°，故此當(dāng)或時，以M、O、D為頂點的三角形與△BOD相似．由比例式可求得MD的長，于是可求得點M的坐標(biāo)．

（1）設(shè)平移后拋物線的表達式為y=a（x+3）（x﹣1），

∵由平移的性質(zhì)可知原拋物線與平移后拋物線的開口大小與方向都相同，

∴平移后拋物線的二次項系數(shù)與原拋物線的二次項系數(shù)相同，

∴平移后拋物線的二次項系數(shù)為1，即a=1，

∴平移后拋物線的表達式為y=（x+3）（x﹣1），

整理得：y=x2+2x﹣3；

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1，與y軸的交點C（0，﹣3），

則點C關(guān)于直線x=﹣1的對稱點C′（﹣2，﹣3），

如圖1，

連接B，C′，與直線x=﹣1的交點即為所求點P，

由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直線BC′解析式為y=x﹣1，

則，

解得，

所以點P坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；

（3）如圖2，

由得，即D（﹣1，1），

則DE=OD=1，

∴△DOE為等腰直角三角形，

∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，OD=，

∵BO=1，

∴BD=，

∵∠BOD=135°，

∴點M只能在點D上方，

∵∠BOD=∠ODM=135°，

∴當(dāng)或時，以M、O、D為頂點的三角形△BOD相似，

①若，則，解得DM=2，

此時點M坐標(biāo)為（﹣1，3）；

②若，則，解得DM=1，

此時點M坐標(biāo)為（﹣1，2）；

綜上，點M坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，2）．