Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=-x²+（k-1）x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點B，且AB=5．
（1）求點A與點B的坐標和此二次函數(shù)的解析式；
（2）如果點M在拋物線上，且S△AMO=

2

3

S△ABO，求點M的坐標；
（3）如果點P在x軸上，且△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由解析式即可求出點A的坐標，根據(jù)AB=5即可求出點B的坐標；
（2）根據(jù)S△AMO=

2

3

S△ABO，即可求出點M的坐標；
（3）△ABP是等腰三角形，分①當(dāng)AB=AP時，②當(dāng)AB=BP時，③當(dāng)AP=BP時三種情況討論．

解答：解：（1）由解析式可知，點A的坐標為（0，4），
∵AB=5，∴BO=3．∴點B的坐標為（-3，0）．
把點B的坐標（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-

5

3

．
∴所求二次函數(shù)的解析式為y=-x2-

5

3

x+4；

（2）由S△AMO=

2

3

S△ABO，得|M_x|=2，
當(dāng)x=2時，y=-

10

3

，得M1(2，-

10

3

)；
當(dāng)x=-2時，y=

10

3

，得M2(-2，

10

3

)；

（3）因為△ABP是等腰三角形，所以
①當(dāng)AB=AP時，點P的坐標為（3，0）．
②當(dāng)AB=BP時，點P的坐標為（2，0）或（-8，0）．
③當(dāng)AP=BP時，設(shè)點P的坐標為（x，0）．
根據(jù)題意，得

x2+42

=|x+3|．
解得x=

7

6

．
∴點P的坐標為（

7

6

，0）．
綜上所述，點P的坐標為（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（

7

6

，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及等腰三角形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和二次函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)．