Question

如圖，⊙C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），M是圓上一點(diǎn)，∠BMO=120°．
（1）求證：AB為⊙C直徑；
（2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵⊙C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直徑．

（2）∵四邊形AOMB是圓內(nèi)接四邊形，∠BMO=120°，
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)得到∠OAB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），∴OA=4，
∴AB=2OA=8，
⊙C的半徑AC=

AB

2

=4；
∵C在第二象限，
∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)小于0，
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
由半徑AC=OC=4，即

CE2+EO2

=

CE2+(AO-EO)2

，
則

x2+y2

=

x2+(4-y)2

=4，
解得，y=2，x=-2

3

或x=2

3

（舍去），
故⊙C的半徑及圓心C的坐標(biāo)分別為：4，（-2

3

，2）．