Question

如圖，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射線l過點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點(diǎn)，滿足∠PQO＝60º．

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)是             ，∠CAO＝         º，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)P的坐標(biāo)
為             ；
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）（6，2）。  30。（3，3）（2）

解：（1）（6，2）。  30。（3，3）。
（2）當(dāng)0≤x≤3時，
如圖1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此時重疊部分是梯形，其面積為：

當(dāng)3＜x≤5時，如圖2，


當(dāng)5＜x≤9時，如圖3，


當(dāng)x＞9時，如圖4，

。
綜上所述，S與x的函數(shù)關(guān)系式為：
。
（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)：
∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）。
②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；如圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時，過點(diǎn)P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）。
（2）分別從當(dāng)0≤x≤3時，當(dāng)3＜x≤5時，當(dāng)5＜x≤9時，當(dāng)x＞9時去分析求解即可求得答案。