Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠GDF＝∠ADF.

（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系并說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）EG垂直平分DF.

試題分析：（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等及E為AB中點(diǎn)得到一對(duì)邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對(duì)等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．
試題解析：（1）E是AB的中點(diǎn)，AE=BE
∵AD∥BC
∴∠ADF=∠F
在△ADE與△BFE中
∠ADF=∠F，∠AED=∠BEF，AE=BE
∴△ADE≌△BFE（AAS）；
（2）∵△ADE≌△BFE
∴DE=EF
∵AD∥BC，∠ADF=∠F，∠GDF＝∠ADF
∴∠F=∠GDF
∴GF=GD
∴△GFD為等腰三角形
∵DE=EF
∴EG垂直平分DF.