Question

【題目】如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標(biāo)系中，B（2，0），∠AOB=60°，點(diǎn)A在第一象限，過(guò)點(diǎn)A的雙曲線為 ．在x軸上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后的像是O′B′．
（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是；
（2）設(shè)P（t，0），當(dāng)O′B′與雙曲線有交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）
（2）4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4
【解析】解：（1.）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)
∵∠AOB=60°，過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱軸，線段OB經(jīng)軸對(duì)稱變換后是O′B′．
AP=OP，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4，0），
故答案為：（4，0）．
（2.）由（1）知，當(dāng)P的坐標(biāo)是（4，0）時(shí)，直線OB與雙曲線有交點(diǎn)O′，
當(dāng)B′在雙曲線上時(shí)，作B′C⊥OP于C，

∵BP=B′P，∠B′BP=60°，
∴△BB′P是等邊三角形，
∴BP=B′P=t﹣2，
∴CP= （t﹣2），B′C= （t﹣2），
∴OC=OP﹣CP= t+1，
∴B′的坐標(biāo)是（ t+1， （t﹣2）），
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2 ，
∴A（2，2 ），
∵A和B′都在雙曲線上，
∴（ t+1） （t﹣2））=2×2 ，
解得：t=±2 ，
∴t的取值范圍是4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
故答案為：4≤t≤2 或﹣2 ≤t≤﹣4．
（1）當(dāng)點(diǎn)O′與點(diǎn)A重合時(shí)，即點(diǎn)O與點(diǎn)A重合，進(jìn)一步解直角三角形AOB，利用軸對(duì)稱的現(xiàn)在解答即可；（2）分別求出O′和B′在雙曲線上時(shí)，P的坐標(biāo)即可．