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        1. 平移拋物線F1,使其經(jīng)過F1的頂點(diǎn)A,得到拋物線F2,設(shè)F2的對稱軸分別交Fl、F2于點(diǎn)D、B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn).
          (1)如圖1,若F1:y=
          1
          3
          x2,平移后得到F2,使得四邊形ABCD為正方形,求F2的解析式;
          (2)如圖2,將(1)中“y=
          1
          3
          x2”改為“y=ax2+bx+c”,其余條件不變,求正方形ABCD的面積(用含有a的代數(shù)式表示);
          (3)如圖3,將(1)中“y=
          1
          3
          x2”改為“y=
          1
          3
          x2-
          2
          3
          x+
          7
          3
          ”,“正方形ABCD”改為“AC=2
          3
          ,且點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)”,求點(diǎn)P到真線AD的距離與到點(diǎn)D的距離之和的最小值.
          精英家教網(wǎng)
          分析:(1)由F1:y=
          1
          3
          x2,平移后得到F2,使得四邊形ABCD為正方形,可以得出F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,b),進(jìn)而求出已知坐標(biāo),即可得出a,b的值,進(jìn)而求出F2的解析式;
          (2)設(shè)F1頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(m,n),平移距離為t,則C點(diǎn)坐標(biāo):C(m+2t,n),求出平移之后的解析式,進(jìn)而得出t的值,從而求出正方形面積;
          (3)要分情況討論點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊還是右邊,作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H,則PD+PH=PB+PH,是PB+PH值最小可求出h的最小值.
          解答:解:(1)由F1:y=
          1
          3
          x2,平移后得到F2,使得四邊形ABCD為正方形,可以得出F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a),D點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,b),
          b=
          1
          3
          b2,
          解得:b=0或3,0不合題意舍去,
          故:D(3,3),F(xiàn)2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-a),代入y=
          1
          3
          (x-a) 2-a,
          解得:F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-3),
          ∴y=
          1
          3
          (x-3)2-3,

          (2)∵設(shè)F1頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(m,n),平移距離為t,則C點(diǎn)坐標(biāo):C(m+2t,n).
          平移之后的解析式:F1頂點(diǎn)A坐標(biāo)為A(m,n),
          所以F1可以表示為y=a(x-m)2+n,
          則平移之后的解析式為y=a(x-m-t)2+n-t ①
          將C點(diǎn)坐標(biāo)代入①式,得到n=at2+n-t,
          即at2-t=0,所以t=
          1
          a

          ∴正方形面積=2t2=
          2
          a2
          ;

          (3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)(如圖1),
          設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N,
          拋物線y=
          1
          3
          x2-
          2
          3
          x+
          7
          3
          ,配方得y=
          1
          3
          (x-1)2+2,
          其頂點(diǎn)坐標(biāo)是A(1,2),
          ∵AC=2
          3
          ,
          ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1+2
          3
          ,2).
          ∵F2過點(diǎn)A,
          ∴F2解析式為y=
          1
          3
          (x-1-
          3
          2+1,
          ∴B(1+
          3
          ,1),
          ∴D(1+
          3
          ,3)
          ∴NB=ND=1,
          ∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對稱,
          ∴AC⊥DB,且AN=NC
          ∴四邊形ABCD是菱形.
          ∴PD=PB.
          作PH⊥AD交AD于點(diǎn)H,則PD+PH=PB+PH.
          要使PD+PH最小,即要使PB+PH最小,
          此最小值是點(diǎn)B到AD的距離,即△ABD邊AD上的高h(yuǎn).
          ∵DN=1,AN=
          3
          ,DB⊥AC,
          ∴∠DAN=30°,
          故△ABD是等邊三角形.
          ∴h=
          3
          2
          AD=
          3

          ∴最小值為
          3

          當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)(如圖2),同理,最小值為
          3

          綜上,點(diǎn)P到點(diǎn)D的距離和到直線AD的距離之和的最小值為
          3

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          點(diǎn)評:此題主要考查了考生的作圖能力以及二次函數(shù)的平移的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)等知識,此題難度較大,靈活運(yùn)用二次函數(shù)與正方形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

          平移拋物線F1,使其經(jīng)過F1的頂點(diǎn)A,得到拋物線F2,設(shè)F2的對稱軸分別交Fl、F2于點(diǎn)D、B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn).
          (1)如圖1,若F1:y=數(shù)學(xué)公式x2,平移后得到F2,使得四邊形ABCD為正方形,求F2的解析式;
          (2)如圖2,將(1)中“y=數(shù)學(xué)公式x2”改為“y=ax2+bx+c”,其余條件不變,求正方形ABCD的面積(用含有a的代數(shù)式表示);
          (3)如圖3,將(1)中“y=數(shù)學(xué)公式x2”改為“y=數(shù)學(xué)公式x2-數(shù)學(xué)公式x+數(shù)學(xué)公式”,“正方形ABCD”改為“AC=2數(shù)學(xué)公式,且點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)”,求點(diǎn)P到真線AD的距離與到點(diǎn)D的距離之和的最小值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年遼寧省大連市甘井子區(qū)九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

          平移拋物線F1,使其經(jīng)過F1的頂點(diǎn)A,得到拋物線F2,設(shè)F2的對稱軸分別交Fl、F2于點(diǎn)D、B,點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn).
          (1)如圖1,若F1:y=x2,平移后得到F2,使得四邊形ABCD為正方形,求F2的解析式;
          (2)如圖2,將(1)中“y=x2”改為“y=ax2+bx+c”,其余條件不變,求正方形ABCD的面積(用含有a的代數(shù)式表示);
          (3)如圖3,將(1)中“y=x2”改為“y=x2-x+”,“正方形ABCD”改為“AC=2,且點(diǎn)P是直線AC上的動點(diǎn)”,求點(diǎn)P到真線AD的距離與到點(diǎn)D的距離之和的最小值.

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