Question

如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)A（2，0），交拋物線y=ax²于點(diǎn)B（1，），點(diǎn)C到△OAB各頂點(diǎn)的距離相等，直線AC交y軸于點(diǎn)D．
（1）填空：a=______，△OAB是______三角形．
（2）連接BC與BD，求四邊形OCBD的面積；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，在直線OC和拋物線y=ax²上是否分別存在點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線有：a=．
OA=2，OB==2，AB==2，
∴OA=OB=AB，
所以△OAB是等邊三角形．
故答案是：a=．△OAB是等邊三角形；

（2）∵點(diǎn)C到△OAB各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，
∴點(diǎn)C是△OAB的外心，
∴C（1，）
∵B（1，），
∴BC=．
在直角△OAD中，OA=2，∠OAD=30°，
∴OD=．
所以四邊形OCBD是平行四邊形．
S_OCBD=OD×1=．
因此OCBD的面積為；

（3）當(dāng)點(diǎn)P（，），點(diǎn)Q（，）時(shí)，DOPQ是等腰梯形．
當(dāng)點(diǎn)P（，），點(diǎn)Q（，）時(shí)，DOPQ是直角梯形．
∴，P₂（，）．
分析：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線可以求出a的值．（2）利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段OA，OB以及AB的長(zhǎng)，判斷△OAB的形狀．（2）結(jié)合圖形求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，判斷四邊形OCBD是平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積．
（3）從等腰梯形，直角梯形和平行四邊形等幾種情況直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線的綜合題，（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線，求出字母系數(shù)a的值，求三角形三邊的長(zhǎng)確定三角形的形狀．（2）根據(jù)點(diǎn)C是三角形的外心，判斷四邊形OCBD是平行四邊形，然后求出平行四邊形的面積．（3）根據(jù)特殊梯形寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．