Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以cm/s的速度分別沿CA、CB勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn) A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．過(guò)點(diǎn)F作BC的垂線l交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)G與點(diǎn)E關(guān)于直線l對(duì)稱．

（1）當(dāng)t ＝ s時(shí)，點(diǎn)G在∠ABC的平分線上；

（2）當(dāng)t ＝ s時(shí)，點(diǎn)G在AB邊上；

（3）設(shè)△DFG與△DFB重合部分的面積為Scm2， 求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）①= ②

【解析】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，垂足為M，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，所以EC=CF=FM=GM=GH=t，且DG也是△BDF的角平分線，由△BDF∽△ABC得： ，∴BD＝5t，DF＝3t，可求得DL、BM的長(zhǎng)度，由DL=DH，BH=BM，構(gòu)造關(guān)于t的方程可以求得答案．

（2）點(diǎn)G在AB邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，由（1）中的數(shù)值，結(jié)合△BGH∽△BAC，構(gòu)造出關(guān)于t的方程，可以得到答案．

（3））由DF∥AC得到△ABC∽△DBF，∴ ，即，得到DF＝ (8t)，分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜t≤時(shí)，S＝S△DFG＝S△DEF=DFCF＝× (8t)×t=t2+t；

②當(dāng)＜t≤6時(shí)，設(shè)G交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，設(shè)FH=MH=a，求得BH，解出a與t的關(guān)系，繼而求得S與t的關(guān)系．

試題解析：（1）

設(shè)DF，EG相交于L，過(guò)點(diǎn)G做GH⊥BD，垂足為H，GM⊥FB，垂足為M，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，所以四邊形ECFL、四邊形LFGM都是正方形，

∴EC=CF=FM=GM=GH=t，

又∵DG也是△BDF的角平分線，

∴DL=DH，

∵DF∥AC，

∴△BDF∽△BAC，

∴，

∴BD＝5t，DF＝3t，

又∵DL=DH=3tt＝3t，

BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，

∴5t＝3t+4t，解得：t=．

（2）

點(diǎn)G在AB邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥BC，垂足為H，

∵GH∥AC，

所以△BGH∽△BAC，

∴，即： ，

解得：t=．

（3）∵DF∥AC

∴△ABC∽△DBF，

∴，

即，解得

①當(dāng)時(shí)，

=

②當(dāng)時(shí)，設(shè)FG交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于H，設(shè)FH=MH=a，

則BH= ，

∴，

解得