Question

【題目】如圖所示，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)，使得是直角三角形?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）連接，將繞平面內(nèi)某點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)．若的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，那么我們就稱這樣的點(diǎn)為"和諧點(diǎn)"，請(qǐng)直接寫出"和諧點(diǎn)"的個(gè)數(shù)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）2個(gè)，的橫坐標(biāo)為1或

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式解析式，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求值即可；

（2）先求出直線BD的解析式，分兩種情況： 或，利用相似三角形分別求出答案即可；

（3）兩個(gè)和諧點(diǎn)：OA=1，OC=2，設(shè)(x，y)，則(x+2，y-1)，(x,y-1)，

當(dāng)、在拋物線上時(shí)，的橫坐標(biāo)是1，當(dāng)、在拋物線上時(shí)，的橫坐標(biāo)是2.

(1)由拋物線過點(diǎn),可設(shè)解析式為將點(diǎn)代人,得,

解得

則拋物線解析式為；

(2)由題意知點(diǎn)坐標(biāo)為．

設(shè)直線解析式為,

將代入,得

解得

∴直線解析式為

若是直角三角形，如圖所示：

分以下兩種情況:

①當(dāng)時(shí)， ，

則，

∵，

∴，

∵,

∴，

∴．

∴．

∴，即

解得．

當(dāng)時(shí),點(diǎn)均與點(diǎn)重合,不能構(gòu)成三角形,舍去span>,

∴,點(diǎn)的坐標(biāo)為

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合， ,

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，是直角三角形．

(3)兩個(gè)和諧點(diǎn)，

∵A(-1，0)，C（0,2），

∴OA=1，OC=2，

設(shè)(x，y)，則(x+2，y-1)，(x,y-1)，

當(dāng)、在拋物線上時(shí)，得+1 ，

解得x=1，

∴的橫坐標(biāo)是1；

當(dāng)、在拋物線上時(shí)，

，

解得x=，

∴的橫坐標(biāo)為，

綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1或.