Question

（1997•山東）已知A為拋物線y=

3

x2-2

3

x+

3

的頂點，B為該拋物線與y軸的交點，C為x軸上一點．設線段BC、AC、AB的長度分別為a、b、c，當a+c=2b時，求：
（1）經過B、C兩點的直線的解析式；
（2）三角形ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）首先求出二次函數的頂點坐標以及圖象與y軸交點坐標，進而假設出C點位置，利用C點可能在A點右側或左側分別求出C點坐標即可；
（2）根據（1）中所求得出三角形ABC的面積即可．

解答：解：（1）∵y=

3

x2-2

3

x+

3

=

3

（x-1）²，
∴A點坐標為：（1，0），
∵B為該拋物線與y軸的交點，
∴x=0時，y=

3

，即B點坐標為：（0，

3

），
當C點在A點右側，設C點坐標為：（x，0），
則AC=x-1，AB=

BO2+AO2

=2，BC=

3+x2

，
∵a+c=2b，
∴2（x-1）=2+

3+x2

，
整理得出：3x²-16x+13=0，
解得：x₁=

13

3

，x₂=1（此時A，C重合不合題意舍去），
如圖所示：
當C′點在A點左側，設C′點坐標為：（z，0），
則AC′=1-z，AB=

BO2+AO2

=2，BC′=

3+z2

，
∵a+c=2b，
∴2（1-z）=2+

3+z2

，
整理得出：3z²=3，
解得：x₁=-1，x₂=1（此時A，C重合不合題意舍去），
∴C點坐標為：（-1，0）或（

13

3

，0），
∴當B點坐標為：（0，

3

），
C點坐標為：（-1，0），
帶入解析式y(tǒng)=kx+b，

b= 3 -k+b=0

，
解得：

b= 3 k= 3

，
∴經過B、C兩點的直線的解析式為：y=

3

x+

3

，
∴當B點坐標為：（0，

3

），
C點坐標為：（

13

3

，0），
帶入解析式y(tǒng)=ax+c，

c= 3 13 3 a+c=0

解得：

c= 3 a=- 3 3 13

，
∴經過B、C兩點的直線的解析式為：y=-

3 13

13

x+

3

；

（2）∵當B點坐標為：（0，

3

），C點坐標為：（-1，0）時，
∴AC′=2，∴S_△ABC=

1

2

BO×AC′=

1

2

×2×

3

=

3

，
當B點坐標為：（0，

3

），C點坐標為：（

13

3

，0）時，
∴AC=

13

3

-1=

10

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BO×AC=

1

2

×

3

×

10

3

=

5 3

3

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及三角形面積求法等知識，根據分類討論的思想得出C點坐標是解題關鍵．