Question

已知，如圖1：在正方形ABCD中，AB=2，點(diǎn)P是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以P為圓心，PD長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E，
（1）若以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖2：連接PE交BC邊于點(diǎn)F，連接DE，設(shè)AE長(zhǎng)為x，CF長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）將點(diǎn)B沿直線EF翻折，使點(diǎn)B落在平面上的B′處，當(dāng)EF=

5

3

時(shí)，△AB′B與△BEF是否相似？若相似，請(qǐng)加以證明；若不相似，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）兩圓外切，則圓心距等于兩圓的半徑和；設(shè)BC的中點(diǎn)為G，那么AG的長(zhǎng)應(yīng)該是AE+

1

2

BC，進(jìn)而可在Rt△ABG中，由勾股定理求得AE的長(zhǎng)．
（2）若要x、y發(fā)生聯(lián)系，需將它們構(gòu)建到同一個(gè)直角三角形中；連接DF，過(guò)D作DH⊥PE于H；通過(guò)證△DAE≌△DHE得到AE=EH=x，通過(guò)證△DHF≌△DCF得到CF=FH=y，進(jìn)而可在Rt△EFB中，根據(jù)勾股定理求得x、y的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）知：當(dāng)EF=

5

3

時(shí)，x+y=

5

3

，聯(lián)立（2）的函數(shù)關(guān)系式可求得此時(shí)x的值，進(jìn)而可求出AE、BF的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)知：EF垂直平分BB′，設(shè)垂足為Q；在Rt△BEF中，根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法，可求得BQ的長(zhǎng)，也就得出了BB′的長(zhǎng)；然后再判斷兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可．

解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)G，連接AG．（1分）
∵圓A與圓G圓外切，
∴AG=AE+1．（1分）
正方形ABCD中，AB=2，設(shè)AE=x．
∵在Rt△ABG中，AB²+BG²=AG²，（1分）
∴22+12=(x+1)2x=±

5

-1（負(fù)數(shù)舍去）．（1分）
∴以A為圓心，AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí)，AE的長(zhǎng)為

5

-1．

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PE于H，連接DF．（1分）
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DC∥AB，
∴∠PDE=∠DEA，
∴∠PED=∠DEA；
∵∠A=∠DHE=90°，DE=DE，
∴△DAE≌△DHE；
∴DA=DH，EA=EH．（1分）
∵DC=DH，∠DCF=∠DHF=90°，DF=DF，
∴△DHF≌△DCF；
∴CF=FH；（1分）
∵AE=x，CF=y，
∴EF=x+y，BE=2-x，BF=2-y；
∴在直角三角形BEF中，BE²+BF²=EF²，
∴（2-x）²+（2-y）²=（x+y）²，
整理得到：y=

4-2x

x+2

(0＜x＜2)；（2分）

（3）∵EF=

5

3

，
∴x+y=

5

3

，
∴

5

3

-x=

4-2x

x+2

，
解得：x1=1，x2=

2

3

．（1分）
當(dāng)x₁=1時(shí)，BE=1，BF=

2

3

；
∵B沿直線EF翻折落在平面上的B'處，
∴BB'⊥EF，設(shè)垂足為Q．
∴BQ=

2

5

，BB'=

4

5

．
∵E、Q分別為AB、BB'的中點(diǎn)，
∴EQ∥AB'，
∴∠ABB'=∠EQB=90°．
在△AB'B與△BEF中，

BB′

AB

=

4 5

2

=

2

5

，

BF

EF

=

2 3

5 3

=

2

5

，
∴

BB′

AB

=

BF

EF

，
∴△AB'B∽△BEF；（3分）
（用相似傳遞性也可以證明△AB'B∽△BEF，也按步驟分步得分）
當(dāng)x2=

2

3

時(shí)，BE=

4

3

，BF=1．
∵

BE

AE

=

4 3

2 3

=2，

BQ

B′Q

=1，
EQ與AB'不平行，
∴△ABB'不是直角三角形，
∴△AB'B與△BEF不相似．（1分）
綜上所述，當(dāng)EF=

5

3

，AE=1時(shí)，△AB'B∽△BEF；
當(dāng)EF=

5

3

，AE=

2

3

時(shí)，△AB'B與△BEF不相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、相切兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．