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        1. 已知,如圖1:在正方形ABCD中,AB=2,點(diǎn)P是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),以P為圓心,PD長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧交AB邊于點(diǎn)E,
          (1)若以A為圓心,AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí),求AE的長(zhǎng);
          (2)如圖2:連接PE交BC邊于點(diǎn)F,連接DE,設(shè)AE長(zhǎng)為x,CF長(zhǎng)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
          (3)將點(diǎn)B沿直線EF翻折,使點(diǎn)B落在平面上的B′處,當(dāng)EF=
          53
          時(shí),△AB′B與△BEF是否相似?若相似,請(qǐng)加以證明;若不相似,簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
          精英家教網(wǎng)
          分析:(1)兩圓外切,則圓心距等于兩圓的半徑和;設(shè)BC的中點(diǎn)為G,那么AG的長(zhǎng)應(yīng)該是AE+
          1
          2
          BC,進(jìn)而可在Rt△ABG中,由勾股定理求得AE的長(zhǎng).
          (2)若要x、y發(fā)生聯(lián)系,需將它們構(gòu)建到同一個(gè)直角三角形中;連接DF,過(guò)D作DH⊥PE于H;通過(guò)證△DAE≌△DHE得到AE=EH=x,通過(guò)證△DHF≌△DCF得到CF=FH=y,進(jìn)而可在Rt△EFB中,根據(jù)勾股定理求得x、y的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)由(2)知:當(dāng)EF=
          5
          3
          時(shí),x+y=
          5
          3
          ,聯(lián)立(2)的函數(shù)關(guān)系式可求得此時(shí)x的值,進(jìn)而可求出AE、BF的長(zhǎng);根據(jù)折疊的性質(zhì)知:EF垂直平分BB′,設(shè)垂足為Q;在Rt△BEF中,根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法,可求得BQ的長(zhǎng),也就得出了BB′的長(zhǎng);然后再判斷兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)邊是否成比例即可.
          解答:解:(1)取BC的中點(diǎn)G,連接AG.(1分)
          ∵圓A與圓G圓外切,
          ∴AG=AE+1.(1分)
          正方形ABCD中,AB=2,設(shè)AE=x.精英家教網(wǎng)
          ∵在Rt△ABG中,AB2+BG2=AG2,(1分)
          22+12=(x+1)2x=±
          5
          -1
          (負(fù)數(shù)舍去).(1分)
          ∴以A為圓心,AE為半徑的圓與以BC為直徑的圓外切時(shí),AE的長(zhǎng)為
          5
          -1


          (2)過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PE于H,連接DF.(1分)
          ∵PD=PE,
          ∴∠PDE=∠PED.
          ∵四邊形ABCD為正方形,
          ∴DC∥AB,
          ∴∠PDE=∠DEA,
          ∴∠PED=∠DEA;精英家教網(wǎng)
          ∵∠A=∠DHE=90°,DE=DE,
          ∴△DAE≌△DHE;
          ∴DA=DH,EA=EH.(1分)
          ∵DC=DH,∠DCF=∠DHF=90°,DF=DF,
          ∴△DHF≌△DCF;
          ∴CF=FH;(1分)
          ∵AE=x,CF=y,
          ∴EF=x+y,BE=2-x,BF=2-y;
          ∴在直角三角形BEF中,BE2+BF2=EF2
          ∴(2-x)2+(2-y)2=(x+y)2,
          整理得到:y=
          4-2x
          x+2
          (0<x<2)
          ;(2分)
          精英家教網(wǎng)
          (3)∵EF=
          5
          3
          ,
          x+y=
          5
          3
          ,
          5
          3
          -x=
          4-2x
          x+2
          ,
          解得:x1=1,x2=
          2
          3
          .(1分)
          當(dāng)x1=1時(shí),BE=1,BF=
          2
          3

          ∵B沿直線EF翻折落在平面上的B'處,
          ∴BB'⊥EF,設(shè)垂足為Q.
          ∴BQ=
          2
          5
          ,BB'=
          4
          5

          ∵E、Q分別為AB、BB'的中點(diǎn),
          ∴EQ∥AB',
          ∴∠ABB'=∠EQB=90°.
          在△AB'B與△BEF中,
          BB
          AB
          =
          4
          5
          2
          =
          2
          5
          ,
          BF
          EF
          =
          2
          3
          5
          3
          =
          2
          5

          BB
          AB
          =
          BF
          EF

          ∴△AB'B∽△BEF;(3分)
          (用相似傳遞性也可以證明△AB'B∽△BEF,也按步驟分步得分)
          當(dāng)x2=
          2
          3
          時(shí),BE=
          4
          3
          ,BF=1

          BE
          AE
          =
          4
          3
          2
          3
          =2,
          BQ
          B′Q
          =1,
          EQ與AB'不平行,
          ∴△ABB'不是直角三角形,
          ∴△AB'B與△BEF不相似.(1分)
          綜上所述,當(dāng)EF=
          5
          3
          ,AE=1時(shí),△AB'B∽△BEF;
          當(dāng)EF=
          5
          3
          ,AE=
          2
          3
          時(shí),△AB'B與△BEF不相似.
          點(diǎn)評(píng):此題考查了正方形的性質(zhì)、相切兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)的應(yīng)用能力,綜合性強(qiáng),難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知:如圖,⊙P與x軸切于點(diǎn)O,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)A在⊙P上,且在第一象限,∠APO=150°,⊙P沿x軸正方向滾動(dòng),當(dāng)點(diǎn)A第一次落在x軸上時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為
           
          (結(jié)果保留π).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖所示,直線l的解析式為y=
          34
          x-3,并且與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B.
          (1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
          (2)一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)、半徑為1的圓,以0.4個(gè)單位/每秒的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng),問(wèn)什么時(shí)刻該圓與直線l相切;
          (3)在題(2)中,若在圓開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿BA方向以0精英家教網(wǎng).5個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),問(wèn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,點(diǎn)P在動(dòng)圓的園面(圓上和圓的內(nèi)部)上一共運(yùn)動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間?

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖,等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上,點(diǎn)A在y軸的正方向上,A(0,6),D(4,6),且A精英家教網(wǎng)B=2
          10

          (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)求經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+6的解析式;
          (3)在(2)中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得S△PBC=
          1
          2
          S梯形ABCD
          ?若存在,請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖,平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上,點(diǎn)A在y軸的正方向上,對(duì)角線BD交y軸于精英家教網(wǎng)點(diǎn)E,AB=
          2
          ,AD=2,AE=
          2
          3

          (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)求過(guò)A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式;
          (3)(2)中所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得S△PBD=S?ABCD?若存在,請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC為等腰三角形,直線AC解析式為y=-2x+6,精英家教網(wǎng)將△AOC沿直線AC折疊,點(diǎn)O落在平面內(nèi)的點(diǎn)E處,直線AE交x軸于點(diǎn)D.
          (1)求直線AD解析式;
          (2)動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度,從點(diǎn)B出發(fā)沿著x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q是射線CE上的點(diǎn),且∠PAQ=∠BAC,設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,求△POQ的面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (3)在(2)的條件下,直線CE上是否存在一點(diǎn)F,使以點(diǎn)F、A、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出t值及Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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