Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過點(diǎn)A（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（3）如果某個(gè)一次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M．問在這個(gè)一次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)和對(duì)稱軸代入即可；
（2）把y=0代入解一元二次方程即可；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-

1

2

x），由勾股定理即可求出Q、H的坐標(biāo)；把x=1或3代入即可求出另外的坐標(biāo)．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過點(diǎn)A（0，3），
代入得：-

b

2×1

=2，3=c，
解得：b=-4，c=3，
答：b=-4，c=3．

（2）把b=-4，c=3代入得：y=x²-4x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
B？（3，0），C（1，0），
答：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是（3，0），（1，0）．

（3）存在：
理由是：y=x²-4x+3，
=（x-2）²-1，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，-1），
設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，
把（0，0），（2，-1）代入得：

0=b -1=2k+b

，
解得：

k=- 1 2 b=0

，
∴y=-

1

2

x，
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-

1

2

x），
取BC的中點(diǎn)M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，
則Q、H符合條件，由勾股定理得；
（x-2）²+(-

1

2

x-0)2=1²，
解得：x₁=

6

5

，x₂=2，
∴Q（

6

5

，-

3

5

），H（2，-1）；
過B作BF⊥X軸交直線于F，
把x=3代入y=-

1

2

x得：y=-

3

2

，
∴F（3，-

3

2

），
過C作CE⊥X軸交直線于E，
同法可求：E（1，-

1

2

），
∴P的坐標(biāo)是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．
答：存在，P的坐標(biāo)是（

6

5

，-

3

5

）或（2，-1）或（3，-

3

2

）或（1，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，直角三角形斜邊上中線等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此題難度較大．用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．