Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“非常距離”，給出如下定義：
若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|；
若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|y₁﹣y₂|．
例如：點(diǎn)P₁（1，2），點(diǎn)P₂（3，5），因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P₁Q與線段P₂Q長度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P₁Q與垂直于x軸的直線P₂Q交點(diǎn)）．
（1）已知點(diǎn)A（﹣，0），B為y軸上的一個動點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；
（2）已知C是直線y=x+3上的一個動點(diǎn)，
①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②如圖3，E是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E與點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）①（0，2）或（0，﹣2）  ②
（2）①   C（﹣，）   ②E（﹣，），C（﹣，），1

解：（1）①∵B為y軸上的一個動點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|﹣﹣0|=≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）或（0，﹣2）；
②點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為
（2）①如圖2，

取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”解答，此時|x₁﹣x₂|=|y₁﹣y₂|．即AC=AD，
∵C是直線y=x+3上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，1），
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，x₀+3），
∴﹣x₀=x₀+2，
此時，x₀=﹣，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：|x₀|=，
此時C（﹣，）；
②如圖3

當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=x+3垂直的直線上時，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，設(shè)E（x，y）（點(diǎn)E位于第二象限）．則
，
解得，，
故E（﹣，）．
﹣﹣x₀=x₀+3﹣，
解得，x₀=﹣，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣，），
最小值為1．
（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“非常距離”的定義可以確定|0﹣y|=2，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y），因為|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為|﹣﹣0|=；
（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x₀，x₀+3），根據(jù)材料“若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，則點(diǎn)P₁與點(diǎn)P₂的“非常距離”為|x₁﹣x₂|”可知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為﹣x₀=x₀+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
②當(dāng)點(diǎn)E在過原點(diǎn)且與直線y=x+3垂直的直線上時，點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”最小，即E（﹣，）．解答思路同上．