Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADE= ，求AE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：CD與圓O相切．

證明：連接OD，則∠AOD=2∠AED=2×45°=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∴∠CDO=∠AOD=90°．

∴OD⊥CD．

∴CD與圓O相切

（2）解：連接BE，則∠ADE=∠ABE．

∴sin∠ADE=sin∠ABE= ．

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．

在Rt△ABE中，sin∠ABE= = ．

∴AE=5．

【解析】（1）連接OD，則∠AOD=為直角，由四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC．從而得出∠CDO=90°，即可證出答案．（2）連接BE，則∠ADE=∠ABE根據(jù)題意得sin∠ABE= ．由AB是圓O的直徑求出AB的長(zhǎng)．再在Rt△ABE中，求得AE即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解平行四邊形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握平行四邊形的對(duì)邊相等且平行；平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對(duì)角線互相平分，以及對(duì)圓周角定理的理解，了解頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．