Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+6與x軸交于點(diǎn)A（6，0），B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)M為該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)CM+BM最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ACP為直角三角形？若存在，有幾個(gè)？寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+5x+6；（2）點(diǎn)M（）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．

【解析】

（1）已知C（0，6），由交點(diǎn)式設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣6），把C點(diǎn)代入即可求解；

（2）先求出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，再作出點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（即為A點(diǎn)），連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，再求AC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)可得結(jié)果；

（3）由點(diǎn)P在拋物線上，可先設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后分別表示出PC2、PA2 、AC2，再按照∠PAC=90°、∠PCA=90°、∠APC=90°三種情況分別求解即可.

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=ax2+bx+6=6，則C（0，6），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），

把C（0，6）代入得a1（﹣6）=6，解得a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣6），即y=﹣x2+5x+6；

（2）∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=，直線AC的解析式為y=-x+6，點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸直線x=的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)A，

∴連接AC，交直線x=于點(diǎn)M，此時(shí)點(diǎn)M滿足CM+BM最小，

當(dāng)x=時(shí)，y=，∴點(diǎn)M（）

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，﹣x2+5x+6），存在4個(gè)點(diǎn)P，使△ACP為直角三角形．

PC2=x2+（﹣x2+5x）2，PA2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，

當(dāng)∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，

∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2，

整理得x2﹣4x﹣12=0，解得x1=6（舍去），x2=﹣2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣8）；

當(dāng)∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，

72+x2+（﹣x2+5x）2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，

整理得x2﹣4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，10）；

當(dāng)∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，

∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2=72，

整理得x3﹣10x2+20x+24=0，

x3﹣10x2+24x﹣4x+24=0，

x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）=0，

x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）=0，

（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）=0，

而x﹣6≠0，

所以x2﹣4x﹣4=0，解得x1=2+2，x2=2﹣2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．