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        1. 如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,正方形OABC的邊長為2cm,點(diǎn)A、C分精英家教網(wǎng)別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D(4,-
          2
          3
          )

          (1)求拋物線的解析式.
          (2)如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,同
          時點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)S=PQ2(cm2
          ①試求出S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
          ②當(dāng)S取
          5
          4
          時,在拋物線上是否存在點(diǎn)R,使得以P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出R點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
          (3)在拋物線的對稱軸上求點(diǎn)M,使得M到D、A的距離之差最大,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
          分析:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐標(biāo)代入即可;
          (2)①由勾股定理即可求出,②假設(shè)存在點(diǎn)R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形,求出P、Q的坐標(biāo),再分為兩種種情況:A、B、C即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出R的坐標(biāo).
          (3)A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為所求M,求出直線BD的解析式,把拋物線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標(biāo).
          解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c,
          ∵正方形的邊長2,
          ∴B的坐標(biāo)(2,-2)A點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-2),
          把A(0,-2),B(2,-2),D(4,-
          2
          3
          )代入得:
          c=-2
          4a+2b+c=-2
          16a+4b+c=-
          2
          3
          ,
          解得a=
          1
          6
          ,b=-
          1
          3
          ,c=-2,
          ∴拋物線的解析式為:y=
          1
          6
          x2-
          1
          3
          x-2
          ,
          答:拋物線的解析式為:y=
          1
          6
          x2-
          1
          3
          x-2


          (2)①由圖象知:PB=2-2t,BQ=t,
          ∴S=PQ2=PB2+BQ2,
          =(2-2t)2+t2
          即S=5t2-8t+4(0≤t≤1).
          答:S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式是S=5t2-8t+4,t的取值范圍是0≤t≤1.
          ②解:假設(shè)存在點(diǎn)R,可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形.
          ∵S=5t2-8t+4(0≤t≤1),
          ∴當(dāng)S=
          5
          4
          時,5t2-8t+4=
          5
          4
          ,得20t2-32t+11=0,
          解得t=
          1
          2
          ,t=
          11
          10
          (不合題意,舍去),
          此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2),Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-
          3
          2
          ),
          若R點(diǎn)存在,分情況討論:
          (i)假設(shè)R在BQ的右邊,如圖(1)所示,這時QR=PB,RQ∥PB,
          則R的橫坐標(biāo)為3,R的縱坐標(biāo)為-
          3
          2
          ,
          即R(3,-
          3
          2
          ),
          代入y=
          1
          6
          x2-
          1
          3
          x-2
          ,左右兩邊相等,
          ∴這時存在R(3,-
          3
          2
          )滿足題意;

          (ii)假設(shè)R在QB的左邊時,這時PR=QB,PR∥QB,
          則R(1,-
          5
          2
          )代入,y=
          1
          6
          x2-
          1
          3
          x-2
          ,
          左右不相等,∴R不在拋物線上.
          綜上所述,存在一點(diǎn)R(3,-
          3
          2
          )滿足題意.精英家教網(wǎng)
          則存在,R點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,-
          3
          2
          );

          (3)如圖(2),M′B=M′A,
          ∵A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為B,過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點(diǎn)為所求M,
          理由是:∵M(jìn)A=MB,若M不為L與DB的交點(diǎn),則三點(diǎn)B、M、D構(gòu)成三角形,
          ∴|MD|-|MB|<|DB|,
          即M到D、A的距離之差為|DB|時,差值最大,精英家教網(wǎng)
          設(shè)直線BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐標(biāo)代入得:
          2k+b=-2
          4k+b=-
          2
          3
          ,
          解得:k=
          2
          3
          ,b=-
          10
          3
          ,
          ∴y=
          2
          3
          x-
          10
          3
          ,
          拋物線y=
          1
          6
          x2-
          1
          3
          x-2
          的對稱軸是x=1,
          把x=1代入得:y=-
          8
          3

          ∴M的坐標(biāo)為(1,-
          8
          3
          );
          答:M的坐標(biāo)為(1,-
          8
          3
          ).
          點(diǎn)評:本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn),解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識進(jìn)行計算.此題綜合性強(qiáng),是一道難度較大的題目.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=kx+1的圖象與反比例函數(shù)y=
          9x
          的圖象在第一象限相精英家教網(wǎng)交于點(diǎn)A,過點(diǎn)A分別作x軸、y軸的垂線,垂足為點(diǎn)B、C.如果四邊形OBAC是正方形,求一次函數(shù)的關(guān)系式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          5、如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0).月牙①繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到月牙②,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(  )

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,一顆棋子從點(diǎn)P處開始依次關(guān)于點(diǎn)A,B,C作循環(huán)對稱跳動,即第一次從點(diǎn)P跳到關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)M處,第二次從點(diǎn)M跳到關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)N處,第三次從點(diǎn)N跳到關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)處,…如此下去.
          (1)在圖中標(biāo)出點(diǎn)M,N的位置,并分別寫出點(diǎn)M,N的坐標(biāo):
           

          (2)請你依次連接M、N和第三次跳后的點(diǎn),組成一個封閉的圖形,并計算這個圖形的面積;
          (3)猜想一下,經(jīng)過第2009次跳動之后,棋子將落到什么位置.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,有一組對角線長分別為1,2,3的正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,其對角線OB1、B1B2、B2 B3依次放置在y軸上(相鄰頂點(diǎn)重合),依上述排列方式,對角線長為n的第n個正方形的頂點(diǎn)An的坐標(biāo)為
           

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),拋物線與y軸交點(diǎn)為C,其頂點(diǎn)為D,連接BD,點(diǎn)P是線段BD上一個動點(diǎn)(不與B、D重合),過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為E,連接精英家教網(wǎng)BE.
          (1)求拋物線的解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (2)如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),△PBE的面積為s,求s與x的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量x的取值范圍,并求出s的最大值;
          (3)在(2)的條件下,當(dāng)s取得最大值時,過點(diǎn)P作x的垂線,垂足為F,連接EF,把△PEF沿直線EF折疊,點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P',請直接寫出P'點(diǎn)坐標(biāo),并判斷點(diǎn)P'是否在該拋物線上.

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