Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，D為弦BC的中心，連接OD并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)C的切線于點(diǎn)P，連接AC．求證：△CPD∽△ABC．

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析.

【解析】

連接OC．則∠OCP=90°，再由AB是⊙O的直徑，得AC⊥CD．根據(jù)D為弦BC的中心，則OP⊥BC，再由弦切角定理得出∠PCD=∠A，從而得出結(jié)論．

證明：連接OC．

∵PC是⊙O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，

∴∠OCP=90°．

∵AB是⊙O的直徑，

∴AC⊥CD．

又點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，

∴OP⊥CD．

∴∠P+∠POC=90°，

∠OCD+∠POC=90°．

∴∠P=∠OCD．

∵OC=OB，

∴∠OCD=∠B．

∴∠P=∠B．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∴∠CDP=∠ACB=90°．

∴△CDP∽△ABC．