Question

【題目】 (1)如圖1，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，點(diǎn)H在BC邊上，連AH，作等腰Rt△HFA，∠HFA=90°求證：AF=CF.

(2)如圖2，等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，D在BC上，AD⊥AE,AD=AE,G為CD中點(diǎn)，求證：AG⊥BE

(3)如圖3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，過(guò)C作CD∥AB, CD=8，連AD,在AD上取一點(diǎn)E使AE=AB，連BE交AC于F，若AF=9，則AD= .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）17.

【解析】

（1）以AH為直徑作圓O，與BC交于點(diǎn)E，可得∠AEC=90°，由等腰三角形三線合一可知AE為BC邊上的中線，所以EA=EC，再由圓周角定理推出∠AEF=∠AHF=45°=∠CEF，再次由等腰三角形三線合一可知EF垂直平分AC，即可得證；

（2）延長(zhǎng)AG到N，使GN=AG，連接CN，易證△AGD≌△NGC，然后推出∠ACN=∠BAE，再證明△ACN≌△BAE，得到∠CAN=∠ABE，即可得出結(jié)論；

（3）延長(zhǎng)BE，CD交于G，易得DG=DE，設(shè)CF=a，則AC=AB=AE=AF+CF=9+a，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，用a表示出CG，DE，AD，然后用勾股定理建立方程求解.

證明：（1）如圖所示，以AH為直徑作圓O，與BC交于點(diǎn)E，

∴∠AEC=90°，即AE⊥BC，

∵AB=AC

∴AE為BC邊上的中線，

∴EA=EC

由∵∠AEF=∠AHF=45°

∴∠CEF=90°-45°=45°

∴∠AEF=∠CEF

由等腰三角形三線合一可得EF垂直平分AC，

∴AF=CF

（2）延長(zhǎng)AG到N，使GN=AG，連接CN，

∵G為CD中點(diǎn)，

∴CG=DG，

在△AGD和△NGC中，

∴△AGD≌△NGC（SAS）

∴∠DAG=∠N，AD=NC，∠ADG=∠NCG

∵AE=AD

∴AE=NC

∵∠EAC+∠CAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，

∴∠EAC=∠BAD

∵∠ADG=∠BAD+∠ABD=∠BAD+45°

∴∠ACN=∠NCG+45°=∠BAD+90°

又∵∠BAE=∠EAC+90°

∴∠ACN=∠BAE

在△ACN和△BAE中，

∴△ACN≌△BAE（SAS）

∴∠CAN=∠ABE

又∵∠ABE+∠AMB=90°

∴∠CAN+∠AMB=90°

∴AG⊥BE

（3）如圖，延長(zhǎng)BE，CD交于G，

∵AB∥CD

∴∠ACD=∠BAC=90°，∠G=∠ABE

又∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵AEB=∠DEG

∴∠G=∠DEG

∴DG=DE

設(shè)CF=a，則AC=AB=AE=AF+CF=9+a

∵AB∥CD，

∴△ABF∽△CGF

∴，即

解得

∴DE=DG=CG-CD=

∴AD=AE+DE=

在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2

即

令，則原方程變形為

整理得，解得x=0或225

即或

舍去負(fù)根得

∴AD=

故答案為：17.