Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于點E，交CB于點F，且EG∥AB交BC于點G．
求證：CF=BG．

Answer 1

分析：過E作EM∥BC交AB于M，得出平行四邊形EMBG，推出BG=EM，求出∠4=∠7，得出CE=CF，證△CAE≌△MAE，推出CE=EM，即可得出答案．

解答：證明：過E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四邊形EMBG是平行四邊形，
∴BG=EM，∠B=∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠7=90°，∠2+∠3=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠7，
∴CE=CF，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠B=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中

∠1=∠2 ∠ACE=∠AME AE=AE

，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE=EM，
∵CE=CF，EM=BG，
∴CF=BG．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力，有一定的難度．