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        1. 如圖,以矩形ABCD的頂點A為原點,AD所在的直線為x軸,AB所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系.點D的坐標為(8,0),點B的坐標為(0,6),點F在對角線AC上運動(點F不與點A、C重合),過點F分別作x軸、y軸的垂線,垂足為G、E.設四邊形BCFE的面積為S1,四邊形CDGF的面積為S2,△AFG的面積為S3

          (1)試判斷S1、S2,的關系,并加以證明;
          (2)當S3:S1=1:3時,求點F的坐標;
          (3)如圖,在(2)的條件下,把△AEF沿對角線AC所在直線平移,得到△A’E’F’,且A’、F’兩點始終在直線AC上,是否存在這樣的點E’,使點E’到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5:4.若存在,請求出點E’的坐標;若不存在,請說明理由.
          (1)S1=S2;(2)F(4,3);(3)存在滿足條件的E′坐標分別是( 6,) ()

          試題分析:(1)兩者應該相等,由于四邊形ADCB是矩形,那么對角線平分矩形的面積,同理OF也平分矩形AEFG的面積,由此就不難得出S1=S2了;
          (2)S3:S2=1;3,也就能得出SAGF:SADC=1:4,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,可得出OF:OC=1:2,即F為OC中點.由此可根據(jù)C、D的坐標直接求出F的坐標;
          (3)由于A′F′始終在OC上,因此EE′所在的直線必平行于OC,可先求出直線EE′的解析式,然后根據(jù)E′橫、縱坐標的比例關系來設出E′的坐標,代入直線EE′中即可求出E′A的坐標.
          (1)S1=S2
          ∵FE⊥y軸,F(xiàn)G⊥x軸,∠BAD=90°,
          ∴四邊形AEFG是矩形.
          ∴AE=GF,EF=AG.
          ∴SAEF=SAFG
          同理SABC=SACD
          ∴SABC-SAEF=SACD-SAFG
          即S1=S2
          (2)∵FG∥CD,
          ∴△AFG∽△ACD.

          ∵CD=BA=6,AD=BC=8,
          ∴FG=3,AG=4.
          ∴F(4,3);
          (3)∵△A′E′F′是由△AEF沿直線AC平移得到的,且A′、F′兩點始終在直線AC上,
          ∴點E′在過點E(0,3)且與直線AC平行的直線l上移動.
          ∵直線AC的解析式是y=x,
          ∴直線L的解析式是y=x+3.
          設點E′為(x,y),
          ∵點E′到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離比是5:4,
          ∴|y|:|x|=5:4.

          ∴E′(6,7.5);
          ∴存在滿足條件的E′坐標分別是( 6,) (,).
          點評:此類問題難度較大,在中考中比較常見,一般在壓軸題中出現(xiàn),需特別注意.
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