Question

已知：如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD⊥AB于M，交⊙O于E，連接CB交⊙O于F，求證：EF•DF=BF•CF．

Answer 1

分析：根據(jù)垂徑定理可以發(fā)現(xiàn)等弧，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可以證明角相等．即∠BFD=∠BDC．再加上公共角，則可以發(fā)現(xiàn)△BDF∽△BCD；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，可以得到∠EFC=∠BDC，再加上公共角，可以證明△BDC∽△EFC．從而借助中間比

BD

CD

，證明結(jié)論．

解答：證明：∵AB是⊙O的直徑，DC⊥AB，
∴弧BD=弧BE，∠BDC=∠BFD．
∵∠DBF=∠CBD，
∴△BDF∽△BCD．
∴

BF

DF

=

BD

DC

．
∵∠EFC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△BDC∽△EFC．
∴

BD

DC

=

EF

FC

∴

BF

DF

=

EF

FC

．
∴EF•DF=BF•CF．

點評：能夠充分運用垂徑定理和圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)圓中的角相等；掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．能夠借助中間比證明一個比例式．