Question

拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點D，頂點為C
（1）求A、B、C、D各點坐標；
（2）求四邊形ABCD的面積；
（3）拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積是△ABC的面積的2倍？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵y=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）=-（x-1）²+4，
∴A（-1，0）、B（3，0）、C（1，4）、D（0，3）．

（2）過C作CE⊥x軸，垂足為E；
由（1）知：OA=1、OD=3、CE=4、OE=1、BE=2；
S_{四邊形ABCD}=S_△AOD+S_△BCE+S_梯形ODCE
=

1

2

×1×3+

1

2

×2×4+

1

2

×（3+4）×1=9．

（3）由于CE=4，即點C到x軸的距離為4；
若S_△PAB=2S_△ABC，則點P到x軸的距離為8，
設P（x，-8），依題意，有：
-x²+2x+3=-8，
化簡得：x²-2x-11=0
解得：x=1±2

3

；
即：P（1±2

3

，-8）．