Question

【題目】AC是□ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD、BC 于點E、F.

（1）求證：AE=CF；

（2）連接AF，CE.

①當EF⊥AC時，四邊形AFCE是什么四邊形？請證明你的結論；

②若AB=1，BC=2，∠B=60°，則四邊形AFCE為矩形時，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①菱形，證明見解析，②

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質可知OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，證出△AOE≌△COF，即可得出AE=CF．
（2）①先證明四邊形AFCE是平行四邊形，由EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形；
②由矩形的性質得出EF=AC，∠AFB=∠AFC=90°，求出AF、CF，由勾股定理求出AC，即可得出EF的長．

試題解析：（1）∵O是AC中點

∴AO=C0

∵ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

∴∠DAC=∠BCA

在ΔAOE和ΔCOF中

∴ΔAOE ≌ ΔCOF(ASA)

∴AE=CF

（2）①菱形

∵AE∥CF且AE=CF

∴AECF是平行四邊形

∵AC⊥EF

∴AECF是菱形

②∵AECF是矩形

∴AF⊥BC

∵∠B=60°AB=1

∴BF= AF=

∵BC=2

∴FC=

在RtΔAFC中AF=FC=

∴AC=

又∵AFCE是矩形

∴EF=AC=