Question

【題目】綜合與實(shí)踐
在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出如下問題，讓同學(xué)們展開探究活動：
問題情境：
如圖（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)（0＜AD＜ AB），將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到的對應(yīng)線段為CE，過點(diǎn)E作EF∥AB，交BC于點(diǎn)F．請你根據(jù)上述條件，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題并解答．

解決問題：
下面是學(xué)習(xí)小組提出的三個問題，請你解答這些問題：
（1）“興趣”小組提出的問題是：求證：AD=EF．
（2）“實(shí)踐”小組提出的問題是：如圖（2），若將△ACD沿AB的垂直平分線對折，得到△BCG，連接EG，則線段EG與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

（3）“奮進(jìn)”小組在“實(shí)踐”小組探究的基礎(chǔ)上，提出了如下問題：延長EF與AC交于點(diǎn)H，連接HD，F(xiàn)G．求證：四邊形DGFH是矩形．
提出問題：
（4）完成上述問題的探究后，老師讓同學(xué)們結(jié)合圖（3），提一個與四邊形DGFH有關(guān)的問題．
“智慧”小組提出的問題是：當(dāng)AD為何值時，四邊形DGFH的面積最大？
請你參照智慧小組的做法，再提出一個與四邊形DGFH有關(guān)的數(shù)學(xué)問題（提出問題即可，不要求進(jìn)行解答，但所提問題必須有效）
你提出的問題是：

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE，如圖1所示：

∵∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．

∴∠ABE=90°．

∵EF∥AB，

∴∠FEB+∠ABE=180°，

∴∠FEB=90°，

∴∠EFB=∠EBF=45°，

∴EF=BE，

∴AD=EF

（2）解：EG= EF．理由如下：如圖2所示，連接BE．

由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．

∵AD=BG，

∴BE=BG=EF，

∴∠BGE=∠BEG=45°，

∴EG= BG，

∴EG= EF

（3）證明：如圖3所示，連接BE．

∵FH∥AB，

∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，

∴∠CHF=∠CFH，

∴CH=CF．

∵△ACD與△BCG對稱，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為G，

∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，

在△HCD和△FCG中，

∴△HCD≌△FCG（SAS），

∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．

又∵∠CDA=∠CGB，

∴∠HDA=∠FGB．

由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，

∴四邊形BEFG為正方形，

∴∠FGB=90°．

∴∠HDG=∠HDA=90°．

∴HD∥FG，

又∵HF∥DG，

∴四邊形DGFH是平行四邊形，

∴四邊形DGFH為矩形

（4）當(dāng)AD為何值時,四邊形DGFH為正方形
【解析】（4）解：當(dāng)AD為何值時，四邊形DGFH為正方形（答案不唯一）；

所以答案是：當(dāng)AD為何值時，四邊形DGFH為正方形．

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用翻折變換（折疊問題）和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等；①旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．