Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中有一△BOD，，把 BO 繞點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得OA， 連接AB，作于點(diǎn) C，點(diǎn)B 的坐標(biāo)為（1，3）.

（1）求直線AB 的解析式；

（2）若AB 中點(diǎn)為 M，連接 CM，動(dòng)點(diǎn) P、Q 同時(shí)從 C 點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn) P 沿射線CM 以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿線段CD 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D 點(diǎn)時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)△PQO 的面積為 S（），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的 P 點(diǎn)，使得P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t 值和此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

（3）存在這樣的P點(diǎn).

當(dāng)∠POB為90°時(shí)，t=，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

當(dāng)∠PBO為90°時(shí)，t=，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

當(dāng)∠BPO為90°時(shí)，t=3，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）或t=2，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可.（2）根據(jù)AB中點(diǎn)M，求出點(diǎn)M的坐標(biāo),在求出CM的解析式，過點(diǎn)P做PH垂直CO交CO于點(diǎn)H，用t表示出OQ和PH的長(zhǎng)，根據(jù),即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式.(3)根據(jù)勾股定理，此題須分三種情況分別求t的值.

解：（1）

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入得：

解得：

(2)∵,

∴直線MC的解析式為

過點(diǎn)P做交CO于點(diǎn)H,

（3）∵直線MC的解析式為

∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,x+3）,

①當(dāng)∠POB為90°時(shí)

整理得：

，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）

此時(shí)t==

②當(dāng)∠PBO為90°時(shí)，

解得x=，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

此時(shí)t=

③當(dāng)∠BPO為90°時(shí)

整理得：

，

Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）或（-1,0）

此時(shí)t=3+0=3或者t=3-1=2

故存在這樣的P點(diǎn).

當(dāng)∠POB為90°時(shí)，t=，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

當(dāng)∠PBO為90°時(shí)，t=，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（）

當(dāng)∠BPO為90°時(shí)，t=3，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）或t=2，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）