Question

如圖，直線y=-

3

x+4

3

與x軸相交于點(diǎn)A，與直線y=

3

x相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）請判斷△OPA的形狀并說明理由．
（3）動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著O→P→A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)（E不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B．設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）將兩直線的解析式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值即為兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)；
（2）求得直線AP與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），利用OP=4PA=4得到OA=OP=PA從而判定△POA是等邊三角形；
（3）分別求得OF和EF的值，利用三角形的面積計(jì)算方法表示出三角形的面積即可．

解答：解：（1）解方程組

y=- 3 x+4 3 y= 3 x

，
解得：

x=2 y=2 3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2

3

）；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
∵OP=

22+(2 3 )2

=4PA=

(2-4)2+(2 3 -0)2

=4，
∴OA=OP=PA，
∴△POA是等邊三角形；

（3）
當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=

1

2

•OF•EF=

3

8

t2
當(dāng)4＜t＜8時(shí)，S=-

3 3

8

t2+4

3

t-8

3

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合知識，解題的關(guān)鍵是正確的利用一次函數(shù)的性質(zhì)求與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)并轉(zhuǎn)化為線段的長．