Question

【題目】在由m×n（m×n＞1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，

（1）當(dāng)m、n互質(zhì)（m、n除1外無(wú)其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表：

m	n	m＋n	f
1	2	3	2
1	3	4	3
2	3	5	4
2	5	7
3	4	7

猜想：當(dāng)m、n互質(zhì)時(shí)，在m×n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m、n的關(guān)系式是______________________________（不需要證明）；

（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立，

Answer 1

【答案】(1) f=m+n-1．(2)不成立，驗(yàn)證見(jiàn)解析．

【解析】

（1）通過(guò)題中所給網(wǎng)格圖形，先計(jì)算出2×5，3×5，對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f，再對(duì)照表中數(shù)值歸納f與m、n的關(guān)系式．

（2）根據(jù)題意，畫(huà)出當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，結(jié)論不成立的反例即可．

（1）如表：

m	n	m＋n	f
1	2	3	2
1	3	4	3
2	3	5	4
2	5	7	6
3	4	7	6

f與m、n的關(guān)系式是：f=m+n-1．
故答案為：f=m+n-1．

（2）當(dāng)m、n不互質(zhì)時(shí)，上述結(jié)論不成立，如圖2×4：

，f=4.