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        1. (2009•三明)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0)、B(5,0)兩點(diǎn).
          (1)求拋物線的解析式和頂點(diǎn)C的坐標(biāo);
          (2)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D,將∠DCB繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),角的兩邊CD和CB與x軸分別交于點(diǎn)P、Q,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤90°).
          ①當(dāng)α等于多少度時(shí),△CPQ是等腰三角形?
          ②設(shè)BP=t,AQ=s,求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

          【答案】分析:(1)已知拋物線過A,B兩點(diǎn),可將A,B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式.然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點(diǎn)C的坐標(biāo).
          (2)①本題要分三種情況進(jìn)行討論:
          當(dāng)CQ=CP時(shí),∠PCD=∠QCD=22.5°,因此旋轉(zhuǎn)角α=22.5°;
          當(dāng)CQ=QP時(shí),∠CPQ=∠PCQ=45°,因此P,A重合.旋轉(zhuǎn)角為45°;
          當(dāng)CP=QP時(shí),∠CQP=∠PCQ=45°,因此旋轉(zhuǎn)角α=0°,根據(jù)α的取值范圍可知此種情況是不成立的.由此可得出旋轉(zhuǎn)角為22.5°或45°時(shí),△CPQ是等腰三角形.
          ②本題可根據(jù)相似三角形來求.分兩種情況進(jìn)行討論:
          當(dāng)0°<α≤45°時(shí),由于∠A=∠B=45°,∠ACQ和∠BPC都是45°加上一個相同的角,因此△ACQ∽△BPC,即可通過相似三角形得出關(guān)于BP,AQ,AC,BC的比例關(guān)系式,由于AC,BC的值可通過A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)來求出,由此可得出s,t的函數(shù)關(guān)系式.
          當(dāng)45°<α<90°時(shí),與一的求法完全相同.
          解答:解:(1)根據(jù)題意,得
          解得,
          ∴y=-x2+3x-=-(x-3)2+2,
          ∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,2).

          (2)①∵CD=DB=AD=2,CD⊥AB,
          ∴∠DCB=∠CBD=45度.
          若CQ=CP,則∠PCD=∠PCQ=22.5度.
          ∴當(dāng)α=22.5°時(shí),△CPQ是等腰三角形.
          ⅱ)若CQ=PQ,則∠CPQ=∠PCQ=45°,
          此時(shí)點(diǎn)Q與D重合,點(diǎn)P與A重合.
          ∴當(dāng)α=45°時(shí),
          △CPQ是等腰三角形.
          若PC=PQ,∠PCQ=∠PQC=45°,此時(shí)點(diǎn)Q與B重合,點(diǎn)P與D重合.
          ∴α=0°,不合題意.
          ∴當(dāng)α=22.5°或45°時(shí),△CPQ是等腰三角形.

          ②連接AC,∵AD=CD=2,CD⊥AB,
          ∴∠ACD=∠CAD=45°,AC=BC=
          當(dāng)0°<α≤45°時(shí),
          ∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度.
          ∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度.
          ∴∠ACQ=∠BPC.
          又∵∠CAQ=∠PBC=45°,
          ∴△ACQ∽△BPC.

          ∴AQ•BP=AC•BC=×=8
          當(dāng)45°<α<90°時(shí),同理可得AQ•BP=AC•BC=8,

          點(diǎn)評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形相似、探究等腰三角形的構(gòu)成情況等重要知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),能力要求較高.考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
          練習(xí)冊系列答案
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          ①當(dāng)α等于多少度時(shí),△CPQ是等腰三角形?
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