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        1. (2009•青浦區(qū)二模)如圖,正方形ABCD的邊長為8厘米,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊由A向B以1厘米/秒的速度勻速移動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC-CD以2厘米/秒的速度勻速移動(dòng),點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.連接AQ,交BD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
          (1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P出發(fā)多少時(shí)間后,∠BEP和∠BEQ相等;
          (2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:△BQE的面積是△APE的面積的2倍;
          (3)設(shè)△APE的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.

          【答案】分析:(1)當(dāng)∠BEP和∠BEQ相等時(shí),三角形BPE和BQE全等,那么BP=BQ,可以根據(jù)P,Q的速度,用時(shí)間表示出BP,BQ的長,進(jìn)而求出t的值.
          (2)因?yàn)镼的速度是P的2倍,因此BQ=2AP.過點(diǎn)E作MN⊥BC,垂足為M,交AD于點(diǎn)N,作EH⊥AB,垂足為H.由于∠ABD=∠DBC=45°,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得出EH=EM,因此根據(jù)三角形的面積公式即可得出三角形BQE的面積是三角形APE面積的2倍.
          (3)要分三種情況進(jìn)行討論
          ①當(dāng)Q在BC上時(shí),求三角形APE的面積關(guān)鍵是求AP邊上的高,也就是EH的長,由于EH=EM,可通過求EM得出EH的值,根據(jù)相似三角形BEQ和AED可得出關(guān)于EM,EN,AD,BQ的比例關(guān)系,可用EM表示出EN,進(jìn)而根據(jù)比例關(guān)系式得出EM即EH的長,也就能得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式了.
          ②當(dāng)Q與C重合時(shí),可直接求出三角形BEQ的面積,根據(jù)(2)的結(jié)果求出三角形APE的面積.
          ③當(dāng)Q在CD上時(shí),關(guān)鍵還是求AP邊上的高,過點(diǎn)E作MH⊥AB,垂足為H,可知MH⊥CD,設(shè)垂足為M,那么可參照②求EM的方法求出EH,然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
          解答:解:
          (1)∵四邊形ABCD是正方形.
          ∴∠ABD=∠DBC.
          當(dāng)∠BEP=∠BEQ時(shí),∠PBE=∠QBE,BE=BE.
          ∴△PBE≌△QBE.
          ∴PB=QB.
          即8-x=2x.
          解得
          即點(diǎn)P出發(fā)秒后,∠BEP=∠BEQ.

          (2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖1,過點(diǎn)E作MN⊥BC,垂足為M,交AD于點(diǎn)N,作EH⊥AB,垂足為H.∵∠ABD=∠DBC,EH⊥AB,EM⊥BC.
          ∴EH=EM.
          ∵BQ=2x,AP=1x.
          ∴BQ=2AP
          ∵S△APE=AP•EH,S△BQE=BQ•EM=•2AP•EH=AP•EH=2S△APE
          所以S△BQE=2S△APE

          (3)①當(dāng)0<x<4時(shí),點(diǎn)Q在BC邊上運(yùn)動(dòng).
          ∵四邊形ABCD是正方形.
          ∴AD∥BC.
          ∴MN⊥AD,△BEQ∽△DEA.
          =
          =
          解得EM=
          即EH=
          ∴S△APE=AP•EH=•x•=
          即y=
          ②當(dāng)x=4時(shí),點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合.此時(shí)y=8.
          ③當(dāng)4<x<8時(shí),點(diǎn)Q在CD邊上運(yùn)動(dòng).如圖2,過點(diǎn)E作MH⊥AB,垂足為H,可知MH⊥CD.
          設(shè)垂足為M.
          ∵AB∥DC.
          ∴∠ABE=∠EDQ,∠BAE=∠DQE,
          ∴△AEB∽△DEQ.
          =
          =
          解得EH=
          ∴S△APE=AP•EH=•x•=
          即y=
          綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=(0<x<4);y=8(x=4);y=(4<x<8).
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識(shí),根據(jù)相似三角形得出線段的比例關(guān)系從而表示出三角形APE的高是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P出發(fā)多少時(shí)間后,∠BEP和∠BEQ相等;
          (2)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),求證:△BQE的面積是△APE的面積的2倍;
          (3)設(shè)△APE的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.

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          (1)求點(diǎn)P到直線AB的距離;
          (2)求直線y=kx+b的解析式;
          (3)在⊙P上是否存在點(diǎn)Q,使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          (1)求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo);
          (2)求經(jīng)過O、D、A三點(diǎn)的二次函數(shù)圖象的解析式.

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          (1)求點(diǎn)P到直線AB的距離;
          (2)求直線y=kx+b的解析式;
          (3)在⊙P上是否存在點(diǎn)Q,使以A、P、B、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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