Question

【題目】在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC．如果AB=AC，∠BAC=90°．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，請你判斷線段CE、BD之間的位置和數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論）；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，請你在圖2畫出圖形，判斷①中的結(jié)論是否仍然成立，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．（2）線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．

【解析】

試題分析：①線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，于是有CE=BD，CE⊥BD．

②結(jié)論仍然成立．證明的方法與（1）類似．

試題解析：①結(jié)論：CE=BD，CE⊥BD．理由如下：

如圖1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AD=AE，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，

∴△BAD≌△CAE，∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．

②結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖2中，∵線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，∴CE=BD，∠ACE=∠B，∴∠BCE=90°，

所以線段CE，BD之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系為：CE=BD，CE⊥BD．