Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為正方形，E點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在CB邊上，且∠OAE=∠FAE
在圖①中，E點(diǎn)在OC邊上，CE=

1

2

OC，若延長(zhǎng)AE、BC相交于點(diǎn)H，由∠OAE=∠FAE和AO∥BC，易知∠FAE=∠H，得AF=HF；由于E為OC中點(diǎn)，AO∥BC，可得△AOE≌△HCE，有AO=CH，又因AO=OC，可得CH=OC，所以有AF=CF+OC
（1）若E點(diǎn)在OC邊上，CE=

1

3

OC，（如圖②）請(qǐng)?zhí)剿鰽F、FC、OC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若E點(diǎn)在OC邊上，CE=

1

n

OC（n是大于1的整數(shù)），請(qǐng)直接寫出AF、FC、OC之間的數(shù)量關(guān)系（不要求證明）；
（3）若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，6），E點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在直線CB上，且∠OAE=∠FAE；當(dāng)AF和CF相差2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，試求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）如果延長(zhǎng)AE、BC相交于點(diǎn)H，則由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似易證△AOE∽△HCE，得出CH=

1

2

OA．由已知條件∠OAE=∠FAE及平行線的性質(zhì)得出∠FAE=∠H，則AF=HF，從而得出AF=CF+

1

2

OC；
（2）由已知及上問結(jié)論，得出AF=CF+

1

n-1

OC；
（3）由于E點(diǎn)在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可分點(diǎn)E在OC邊上及點(diǎn)E在OC的延長(zhǎng)線上兩種情況分別討論．針對(duì)每一種情況，均可列出關(guān)于n的方程，求出n的值，進(jìn)而得到E點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）延長(zhǎng)AE、BC相交于點(diǎn)H．
∵AO∥BC，
∴∠AOC=∠HCE，∠OAE=∠CHE，
∴△AOE∽△HCE，
∴AO：CH=OE：CE=2：1，
∴CH=

1

2

OA．
∵∠OAE=∠CHE，∠OAE=∠FAE，
∴∠FAE=∠H，
∴AF=HF；
又HF=CF+CH，OC=OA，
∴AF=CF+

1

2

OC；

（2）AF=CF+

1

n-1

OC

（3）當(dāng)E在OC邊上時(shí)，AF=CF+

1

n-1

OC，
∴AF-CF=

1

n-1

OC，
即2=

1

n-1

•6，
∴n=4；
E為（4.5，0）；（2分）
當(dāng)E在OC延長(zhǎng)線上時(shí)，AF=CF-

1

n+1

OC，
∴CF-AF=

1

n+1

OC，
即2=

1

n+1

•6，
∴n=2；
E為（8，0）．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定等知識(shí)．同時(shí)也考查了學(xué)生的分析、歸納能力，難度較大．