Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD．
（1）如圖①，連接AC，如果三角形ADC的面積為6，求梯形ABCD的面積；
（2）如圖②，E是腰AB上一點(diǎn)，連接CE，設(shè)△BCE和四邊形AECD的面積分別為S₁和S₂，且2S₁=3S₂，求

AE

BE

的值；
（3）如圖③，AB=CD，如果CE⊥AB于點(diǎn)E，且BE=3AE，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由△ADC與△ABC等高，且BC=3AD，可得△ABC的面積是△ADC面積的三倍，所以可求得△ADC的面積，即可求得梯形ABCD的面積；
（2）可利用面積法求解，因?yàn)槿绻�三角形的高相等，則其面積的比等于其底的比，所以可求得AE與BE的比；
（3）首先延長(zhǎng)BA與CD，然后根據(jù)面積的關(guān)系求得△MBC是等邊三角形，即可得∠B為60°．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，又△ADC與△ABC等高，且BC=3AD，
∴S_△ABC=3S_△ADC，
∵S_△ADC=6，
∴S_梯形ABCD=S_△ABC+S_△ACD=4S_△ADC=24．

（2）方法1：連接AC，如圖①，設(shè)△AEC的面積為S₃，則△ACD的面積為S₂-S₃，

由（1）和已知可得

2S1=3S2 S1+S3=3(S2-S3).

解得：S₁=4S₃．
∴

S3

S1

=

1

4

．
∵△AEC與△BEC等高，
∴

AE

BE

=

1

4

．
方法2：延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)F，如圖②
∵AD∥BC，
∴△FAD∽△FBC，
∴

S△FAD

S△FBC

=(

AD

BC

)2=

1

9

，
設(shè)S_△FAD=S₃=a，則S_△FBC=9a，S₁+S₂=8a，
又∵2S₁=3S₂，
∴S1=

24

5

a，S2=

16

5

a，S₃=a．
∵△EFC與△CEB等高，
∴

FE

EB

=

S△FEC

S△ECB

=

S3+S2

S1

=

7

8

．
設(shè)FE=7k，則BE=8k，F(xiàn)B=15k，
∴FA=

1

3

FB=5k．
∴AE=7k-5k=2k．
∴

AE

BE

=

1

4

．

（3）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M．如圖③，
∵AD∥BC，
∴△MAD∽△MBC，
∴

AD

BC

=

MA

MB

=

1

3

．
∴MB=3MA．設(shè)MA=2x，則MB=6x．
∴AB=4x．
∵BE=3AE，
∴BE=3x，AE=x．
∴BE=EM=3x，E為MB的中點(diǎn)．
又∵CE⊥AB，
∴CB=MC．
又∵M(jìn)B=MC，
∴△MBC為等邊三角形．
∴∠B=60°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了如果三角形的高相等，則面積比等于其底邊的比．解此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的作出輔助線與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．