Question

已知二次函數(shù)．
（1）求它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將該拋物線(xiàn)沿它的對(duì)稱(chēng)軸向上平移，如圖所示，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B、C三點(diǎn)，連接AC、BC，若∠ACB=90°．
①求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式；
②以AB為直徑作圓，試判斷直線(xiàn)CM與此圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由，
得，
∴D（3，0）；

（2）方法一：
①如圖1，設(shè)平移后的拋物線(xiàn)的解析式為，
則C（0，k）OC=k，
令y=0即，
得，，
∴A，B，
∴，
=2k²+8k+36，
∵AC²+BC²=AB²
即：2k²+8k+36=16k+36，
得k₁=4，k₂=0（舍去），
∴拋物線(xiàn)的解析式為，…
方法二：
①∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)，
設(shè)拋物線(xiàn)向上平移h個(gè)單位，則得到C（0，h），頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴平移后的拋物線(xiàn)：，
當(dāng)y=0時(shí)，，得x₁=3-，x₂=3+，
∴A，B，
∵∠ACB=90°∴△AOC∽△COB，
∴OC²=OA•OB得h₁=4，h₂=0（不合題意舍去），
∴平移后的拋物線(xiàn)：；

（3）方法一：
②如圖2，由拋物線(xiàn)的解析式可得，
A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
過(guò)C、M作直線(xiàn)，連接CD，過(guò)M作MH垂直y軸于H，則MH=3，
∴，
∴DM²=CM²+CD²
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，
∴直線(xiàn)CM與⊙D相切．

方法二：
②如圖3，由拋物線(xiàn)的解析式可得A（-2，0），B（8，0），C（0，4），M，
作直線(xiàn)CM，過(guò)D作DE⊥CM于E，過(guò)M作MH垂直y軸于H，則MH=3，，由勾股定理得，
∵DM∥OC，
∴∠MCH=∠EMD，
∴Rt△CMH∽R(shí)t△DME，
∴得DE=5，
由（2）知AB=10，∴⊙D的半徑為5．
∴直線(xiàn)CM與⊙D相切．
分析：（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求出x=-，求出即可；：（1）由，
得，
∴D（3，0）；
（2）①假設(shè)出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用勾股定理求出即可；②由拋物線(xiàn)的解析式可得，A，B，C，M各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．