Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）將A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3) 代入拋物線y＝ax2+bx+c中， 得：，解得： ∴拋物線的解析式：y＝﹣x2+2x+3； （2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P； 設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b， 將B(3，0)，C(0，3)代入上式， 得：，解得： ∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣x+3； 當(dāng)x=1時(shí)，y＝2，即P的坐標(biāo)(1，2)； （3）拋物線的解析式為：x＝﹣＝1， 設(shè)M(1，m)，已知A(﹣1，0)、C(0，3)， 則：MA2＝m2+4，MC2＝m2﹣6m+10，AC2＝10； ①若MA＝MC，則MA2＝MC2， 得：m2+4＝m2﹣6m+10， 得：m＝1； ②若MA＝AC，則MA2＝AC2， 得：m2+4＝10，得：m＝±； ③若MC＝AC，則MC2＝AC2， 得：m2﹣6m+10＝10， 得：m＝0，m＝6； 當(dāng)m＝6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形， 不合題意，故舍去； 綜上可知，符合條件的M點(diǎn)存在， 且坐標(biāo)為 M(1，)(1，﹣)(1，1)(1，0)．