Question

【題目】如圖所示，線段是⊙的直徑，過點(diǎn)作直線交⊙于、兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的角平分線交⊙于，過作的垂線交于

（1）證明是⊙的切線

（2）證明

（3）若⊙的直徑為10，，求

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）8.

【解析】

（1）連接OD，由∠ADE＋∠DAE＝90°，＝＝∠ODA，即可證明∠ODE＝90°．

（2）連接CD，根據(jù)已知條件證明∽即可求解；

（3）過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形ODEM為矩形，設(shè)DE=OM=x,則AE=4-x,利用在中，,列出方程求解x,再利用垂徑定理即可求解.

（1）證明：連接OD

∵

∴

∵

∴

∴

∴

又∵

∴

為⊙O切線

（2）解：連接CD

∵為⊙O的直徑，DE⊥AF

∴ADC=90°，∠DEA=90°，

∴∠ADC=∠AED

∴在和中

∴∽

∴

∴

∵

∴

（3）過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，則四邊形ODEM為矩形，

設(shè)DE=OM=x,則AE=4-x,

∴

在中，,

即：

解得：（舍去）

∴

∵由垂徑定理得：AB=2AM=8