Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F．
（1）試說(shuō)明OE=OF；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出說(shuō)明理由；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠BOE=∠AOF=90°，

OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，

∴∠MEA=∠AFO，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF；

（2）解：OE=OF成立；

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，

又∵AM⊥BE，

∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，

又∵∠MBF=∠OBE，

∴∠F=∠E，

∴Rt△BOE≌Rt△AOF，

∴OE=OF．

【解析】根據(jù)正方形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分的性質(zhì)可以證明OA=OB，（1）求證∠1=∠2，進(jìn)而證明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求證∠E=∠F，進(jìn)而證明Rt△AOF≌Rt△BOE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可得OE=OF．
【考點(diǎn)精析】利用正方形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線(xiàn)把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線(xiàn)與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．