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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          已知拋物線y=ax2+x+2(a<0).
          (1)若對稱軸為直線.①求a的值;②在①的條件下,若y的值為正整數,求x的值;
          (2)當a=a1時,拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點M(m,0);當a=a2時,拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點N(n,0).若點M在點N的左邊,試比較a1與a2的大小.
          【答案】分析:(1)根據對稱軸公式可求a的值,由拋物線開口向下,根據拋物線的最大值,求y的正整數值,將y的正整數值代入拋物線解析式,求x的值;
          (2)將a=a1,x=m代入y=ax2+x+2中,可求a1,同理可求a2,利用作差法求a1-a2,并化簡,根據點M,N在x軸的正半軸上,且點M在點N的左邊,得0<m<n,由此判斷a1-a2的符號,判斷a1與a2的大小.
          解答:解:(1)①由對稱軸x=-=,得a=-1;
          ②∵拋物線y=-x2+x+2開口向下,拋物線有最大值為=,
          ∴拋物線y=-x2+x+2的正整數值只能為1或2,
          當y=1時,-x2+x+2=1,解得x1=,x2=,
          當y=2時,-x2+x+2=2,解得x3=0,x4=1,
          ∴x的值為,x2=,0或1.

          (2)方法一:
          ∵當a=a1時,拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸相交于點M(m,0),
          ∴a1m2+m+2=0,m≠0,∴a1=-,
          同理,得a2=-,
          ∴a1-a2=--(-)=
          ==
          又∵點M,N在x軸的正半軸上,且點M在點N的左邊,
          ∴0<m<n,∴m-n<0,∴<0,
          即a1<a2;
          方法二:
          拋物線y=ax2+x+2的對稱軸為x=-
          當a>0時,x=-<0,
          此時,拋物線y=ax2+x+2的對稱軸在y軸的左側,
          又∵拋物線y=ax2+x+2與y軸相交于點(0,2),
          ∴拋物線y=ax2+x+2與x軸的正半軸無交點.
          ∴a>0不合題意;
          當a<0時,即a1<0,a2<0.
          經過點M的拋物線y=a1x2+x+2的對稱軸為x=-,
          經過點N的拋物線y=a2x2+x+2的對稱軸為x=-
          ∵點M在點N的左邊,且拋物線經過點(0,2),
          (此時兩條拋物線如圖所示).

          ∴直線x=-在直線x=-的左側,
          ∴-<-,∴a1<a2
          點評:本題考查了二次函數的綜合運用.關鍵是由已知條件求拋物線解析式,根據拋物線解析式求函數最大值,確定函數的正整數值,再根據函數的正整數值求對應的x值,根據函數式求a1,a2的表達式,利用作差法比較a1,a2的大。
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          ,k=
           

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