Question

如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．
（1）求△ABC所掃過的圖形的面積；
（2）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，進而得出S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF，故可求出△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}+S_△ABC，
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，可得四邊形ABFE為菱形，故AF與BE互相垂直且平分；
（3）根據(jù)題意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，

1

2

BD•AC=3，可得

1

2

•

1

2

AC•AC=3，進而可得AC的長度．

解答：解：（1）連接BF，由題意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC掃過圖形的面積為S_{平行四邊形ABFE}+S_△ABC=2×3+3=9；

（2）由（1）知四邊形ABFE為平行四邊形，且AB=AE，
∴四邊形ABFE為菱形，
∴AF與BE互相垂直且平分．

（3）過點B作BD⊥CA于點D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=

1

2

AB=

1

2

AC．
∴

1

2

BD•AC=3，
∴

1

2

•

1

2

AC•AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2

3

．

點評：本題考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知識結(jié)合求解．考查了學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)的能力．