Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過A作⊙O的切線，在切線上截取AC=AB，連接OC交⊙O于D，連接BD并延長交AC于E，⊙F是△ADE的外接圓，F(xiàn)在AE上．
求證：（1）CD是⊙F的切線；（2）CD=AE．

Answer 1

分析：（1）連接DF，證DF⊥OC即可．
（2）可運(yùn)用相似三角形和線段間的比例關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：證明：（1）連接DF，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
又∵FA=FD，
∴∠FAD=∠FDA．
∴∠BAC=∠FDO．
又∵AC為⊙O的切線，
∴∠BAC=90°．
∴∠FDO=90°．
即：CD⊥DF．
∴CD是⊙F的切線．

（2）∵DF⊥CD，
∴Rt△CDF∽R(shí)t△CAO．
∴

DF

CD

=

OA

AC

．
又∵AC=AB=2OA，
∴

DF

CD

=

OA

2OA

=

1

2

，CD=2DF．
∵AE=2DF，
∴CD=AE．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)與判斷，相似三角形的判斷和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．