Question

【題目】如圖，菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止，連接，，．設(shè)的面積為（這里規(guī)定：線段是面積的幾何圖形），點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

如圖，菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，且，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止后繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止，連接，，．設(shè)的面積為（這里規(guī)定：線段是面積的幾何圖形），點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

填空：________，與之間的距離為________；

當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)解析式；

直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，使與菱形一邊平行的所有的值．

Answer 1

【答案】（1）5；

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可求得AB，根據(jù)面積公式求得AB與CD之間的距離．

（2）當(dāng)4≤x≤10時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程分為三個(gè)階段，需要分類討論，避免漏解：

①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1-1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上；

②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1-2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1-3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．

（3）有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算：

①若PQ∥CD，如答圖2-1所示；

②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．

解：（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB===5，

設(shè)AB與CD間的距離為h，

∴△ABC的面積S=ABh，

又∵△ABC的面積S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12，

∴ABh=12，

∴h==．

（2）設(shè)∠CBD=∠CDB=θ，則易得：sinθ= ，cosθ=．

①當(dāng)4≤x≤5時(shí)，如答圖1-1所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，點(diǎn)P在線段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC-PB=5-x．

過點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H，則PH=PCcosθ=（5-x）．

∴y=S△APQ=QAPH=×3×（5-x）=-x+6；

②當(dāng)5＜x≤9時(shí)，如答圖1-2所示，此時(shí)點(diǎn)Q在線段OB上，點(diǎn)P在線段CD上．

PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．

過點(diǎn)P作PH⊥BD于點(diǎn)H，則PH=PDsinθ=（10-x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD-S△ABQ-S四邊形BCPQ-S△APD

=S菱形ABCD-S△ABQ-（S△BCD-S△PQD）-S△APD

= ACBD-BQOA-（BDOC-QDPH）-PD×h

=×6×8-（9-x）×3-[×8×3-（x-1）（10-x）]- （10-x）×

=-x2+x-；

③當(dāng)9＜x≤10時(shí)，如答圖1-3所示，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P在線段CD上．

y=S△APQ=AB×h=×5×=12．

綜上所述，當(dāng)4≤x≤10時(shí)，y與x之間的函數(shù)解析式為：

y=．

（3）有兩種情況：

①若PQ∥CD，如答圖2-1所示．

此時(shí)BP=QD=x，則BQ=8-x．

∵PQ∥CD，

∴＝，

即＝，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答圖2-2所示．

此時(shí)PD=10-x，QD=x-1．

∵PQ∥BC，

∴＝，

即＝，

∴x=．

綜上所述，滿足條件的x的值為或．